Probabilités : union, intersection et loi des grands nombres
Ce chapitre se travaille en 5 notions. Chacune a sa page : une scène qui la montre en mouvement, l'idée à retenir, et les quatre étapes pour la maîtriser — de « reconnaître » à « transférer ».
Ce que tu apprends dans ce chapitre
- Rappel : probabilité et événement contraireUn dé équilibré : quelle est la « chance » d'obtenir un nombre pair ? On repart des bases avant de combiner deux événements.
Une expérience aléatoire, c'est une expérience dont on ne connaît pas le résultat à l'avance : lancer un dé, tirer une carte, jouer à pile ou face. Chaque résultat possible s'appelle une ISSUE. Quand toutes les issues ont…
- Réunion et intersection de deux événementsSur le dé, A = « pair » et B = « multiple de 3 ». Quelles faces réalisent « A ET B » ? Et « A OU B » ?
Jusqu'ici, tu calculais la probabilité d'UN seul événement. Maintenant, on en combine DEUX. Reprends le dé équilibré et les deux événements fil rouge : A = « obtenir un nombre PAIR » = {2, 4, 6} et B…
- La formule de la réunionPeut-on calculer P(A∪B) sans lister toutes les faces ? Oui, avec une formule — à condition de retrancher l'intersection.
Tu sais maintenant reconnaître A∪B et A∩B. Voici une formule qui donne P(A∪B) sans avoir à tout redénombrer : P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). D'où vient le « − P(A∩B) » ? Imagine que tu additionnes…
- Événements incompatiblesUne même face peut-elle être à la fois paire et impaire ? Non — voici ce que cela change pour la formule.
Parfois, deux événements ne peuvent JAMAIS se réaliser en même temps. On dit alors qu'ils sont INCOMPATIBLES (on dit aussi « disjoints »). Cela veut dire qu'aucune issue ne réalise les deux à la fois : leur intersection…
- La loi des grands nombresOn lance vraiment une pièce équilibrée. Sur 10 lancers la fréquence de « pile » saute ; sur 1000, elle se pose. Pourquoi ?
Jusqu'ici, on a CALCULÉ des probabilités (des nombres théoriques). Mais que se passe-t-il quand on FAIT vraiment l'expérience ? Prends une pièce équilibrée : la probabilité de « pile » est 1/2 = 0,5. Si tu la lances…
Ce que tu dois savoir faire
À la fin de ce chapitre, voici ce que tu dois être capable de faire. Chaque ligne est un objectif du programme — retrouve-le dans la notion qui le travaille.
- Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité : P(événement) = nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles ; par exemple, avec un dé équilibré, P(« nombre pair ») = 3/6 = 1/2.
- Déterminer la probabilité de l'événement contraire à l'aide de P(Ā) = 1 − P(A), en sachant que 0 ≤ P ≤ 1.
- Déterminer la réunion A∪B (« A ou B ») et l'intersection A∩B (« A et B ») de deux événements ; avec le dé, A = « pair » = {2, 4, 6} et B = « multiple de 3 » = {3, 6} donnent A∩B = {6} et A∪B = {2, 3, 4, 6}.
- Calculer P(A∩B) et P(A∪B) par dénombrement : P(A∩B) = 1/6 et P(A∪B) = 4/6 = 2/3 pour le dé équilibré.
- Calculer P(A∪B) à l'aide de la formule P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) : 1/2 + 1/3 − 1/6 = 4/6 = 2/3.
- Justifier que l'intersection est retranchée une fois car elle est comptée deux fois dans P(A) + P(B).
- Reconnaître deux événements incompatibles : A∩B = ∅ et P(A∩B) = 0 ; par exemple « pair » et « impair » avec un dé.
- Calculer P(A∪B) = P(A) + P(B) pour des événements incompatibles ; « pair » et « impair » donnent 1/2 + 1/2 = 1.
- Décrire la loi des grands nombres : la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité quand on répète l'expérience un grand nombre de fois.
- Interpréter qu'en lançant une pièce équilibrée de plus en plus de fois la fréquence de « pile » se stabilise vers 0,5, alors qu'elle fluctue sur un petit nombre de lancers.
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