Réunion et intersection de deux événements

L'essentiel

Jusqu'ici, tu calculais la probabilité d'UN seul événement. Maintenant, on en combine DEUX. Reprends le dé équilibré et les deux événements fil rouge : A = « obtenir un nombre PAIR » = {2, 4, 6} et B = « obtenir un MULTIPLE DE 3 » = {3, 6}.

À partir de A et B, on construit deux nouveaux événements. La RÉUNION, notée A∪B et qui se lit « A UNION B » ou « A OU B », se réalise dès qu'AU MOINS L'UN des deux événements se réalise (l'un, l'autre, ou les deux). Ici A∪B rassemble toutes les issues qui sont paires OU multiples de 3 : {2, 3, 4, 6}.

L'INTERSECTION, notée A∩B et qui se lit « A INTER B » ou « A ET B », se réalise seulement quand LES DEUX événements se réalisent EN MÊME TEMPS. Ici A∩B contient les issues qui sont à la fois paires ET multiples de 3 : la seule est 6, donc A∩B = {6}. Un petit dessin aide beaucoup : deux ronds qui se chevauchent (un diagramme de Venn).

Le rond A contient 2, 4, 6 ; le rond B contient 3, 6. La ZONE COMMUNE (le chevauchement) est l'intersection {6} ; TOUT ce qui est couvert par au moins un rond est la réunion {2, 3, 4, 6}. On peut alors calculer : P(A∩B) = 1/6 (une seule issue) et P(A∪B) = 4/6 = 2/3 (quatre issues sur six). Attention au vocabulaire : « ou » en mathématiques n'est pas exclusif — A∪B inclut le cas où les deux se produisent.

Comprendre

Ce concept installe le vocabulaire nouveau de la 3e : réunion et intersection de deux événements. À partir de deux événements A et B définis sur la même expérience, on en forme deux autres. La RÉUNION A∪B (« A ou B ») est l'événement « au moins l'un des deux se réalise » : ses issues sont celles qui appartiennent à A, à B, ou aux deux.

L'INTERSECTION A∩B (« A et B ») est l'événement « les deux se réalisent en même temps » : ses issues appartiennent À LA FOIS à A et à B. Le diagramme de Venn (deux disques qui se chevauchent) est l'outil de référence : le chevauchement = l'intersection, la surface totale couverte = la réunion. Sur le dé équilibré fil rouge : A = « pair » = {2, 4, 6}, B = « multiple de 3 » = {3, 6}. L'intersection A∩B = {6} (seule issue à la fois paire et multiple de 3), donc P(A∩B) = 1/6. La réunion A∪B = {2, 3, 4, 6} (paire OU multiple de 3), donc P(A∪B) = 4/6 = 2/3. Deux points clés : le « ou » mathématique est INCLUSIF (il autorise que les deux se produisent), et une issue partagée (ici 6) n'est comptée qu'UNE fois dans la réunion.

Ce dénombrement direct prépare la formule du concept suivant.

Le cours

RÉUNION ET INTERSECTION DE DEUX ÉVÉNEMENTS. DEUX ÉVÉNEMENTS SUR LA MÊME EXPÉRIENCE. On lance un dé équilibré à 6 faces.

On considère deux événements : A = « obtenir un nombre PAIR » = {2, 4, 6} et B = « obtenir un MULTIPLE DE 3 » = {3, 6}. On a P(A) = 3/6 = 1/2 et P(B) = 2/6 = 1/3. LA RÉUNION A∪B. La réunion de A et B, notée A∪B et lue « A union B » ou « A ou B », est l'événement qui se réalise quand AU MOINS L'UN des deux événements se réalise.

Ses issues sont celles qui appartiennent à A, à B, ou aux deux. Ici A∪B = {2, 3, 4, 6} : ce sont les nombres pairs OU multiples de 3. Attention, le « ou » est INCLUSIF : il comprend le cas où les deux se produisent. L'INTERSECTION A∩B.

L'intersection de A et B, notée A∩B et lue « A inter B » ou « A et B », est l'événement qui se réalise quand LES DEUX événements se réalisent EN MÊME TEMPS. Ses issues appartiennent À LA FOIS à A et à B. Ici A∩B = {6} : 6 est le seul nombre à la fois pair et multiple de 3. LE DIAGRAMME DE VENN. On dessine deux disques qui se chevauchent : le disque A (2, 4, 6) et le disque B (3, 6).

La zone de CHEVAUCHEMENT correspond à l'intersection A∩B = {6}. La zone TOTALE couverte par au moins un disque correspond à la réunion A∪B = {2, 3, 4, 6}. Une issue commune (6) figure dans les deux disques mais n'est comptée qu'UNE seule fois dans la réunion.

CALCUL DES PROBABILITÉS. Par dénombrement direct : A∩B = {6} → 1 cas favorable sur 6 → P(A∩B) = 1/6. A∪B = {2, 3, 4, 6} → 4 cas favorables sur 6 → P(A∪B) = 4/6 = 2/3. Points de vigilance. (1) « A ou B » est inclusif : les issues communes en font partie. (2) Une issue partagée n'est comptée qu'une fois dans la réunion. (3) L'intersection peut être vide s'il n'existe aucune issue commune (on le verra avec les événements incompatibles). À retenir : A∪B = « A ou B » (au moins l'un) ; A∩B = « A et B » (les deux) ; sur le dé, A∩B = {6} et A∪B = {2, 3, 4, 6}, P(A∩B) = 1/6, P(A∪B) = 2/3.

Les erreurs fréquentes

On interprète « A ou B » comme exclusif (l'un OU l'autre mais pas les deux) et on retire l'issue commune de la réunion.

En mathématiques, le « ou » de la réunion est INCLUSIF : A∪B contient les issues de A, de B ET de leur intersection. L'issue commune (6) fait bien partie de A∪B = {2, 3, 4, 6}.

On confond réunion et intersection, ou on confond les symboles ∪ et ∩.

A∪B (∪ comme « union ») = « A OU B », au moins l'un des deux. A∩B (∩) = « A ET B », les deux à la fois. Sur le dé, A∪B = {2, 3, 4, 6} et A∩B = {6}.

Dans la réunion, on compte DEUX fois l'issue qui appartient aux deux événements.

Une issue partagée (le 6, à la fois paire et multiple de 3) n'est comptée qu'UNE seule fois dans A∪B. La réunion a donc 4 issues (2, 3, 4, 6), pas 5.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire la réunion A∪B comme l'événement « au moins l'un des deux se réalise » (A ou B).
• Décrire l'intersection A∩B comme l'événement « les deux se réalisent en même temps » (A et B).
• Sur le dé, déterminer A∩B = {6} et A∪B = {2, 3, 4, 6} à l'aide d'un diagramme de Venn.
• Calculer P(A∩B) = 1/6 et P(A∪B) = 4/6 = 2/3 par dénombrement direct.

Vérifie que tu as compris

1. Que signifie la réunion A∪B de deux événements ?

   Réponse au moins l'un des deux événements se réalise (A ou B)

   La réunion A∪B (« A ou B ») se réalise dès qu'au moins l'un des deux événements se réalise. Le « ou » est inclusif : il comprend aussi le cas où les deux se produisent. L'intersection A∩B, elle, exige les deux à la fois.

2. Avec le dé, A = « pair » = {2, 4, 6} et B = « multiple de 3 » = {3, 6}. Que valent A∩B et A∪B ?

   Réponse A∩B = {6} et A∪B = {2, 3, 4, 6}

   L'intersection A∩B regroupe les faces à la fois paires et multiples de 3 : seulement 6. La réunion A∪B regroupe les faces paires ou multiples de 3 : 2, 3, 4 et 6 (le 6 n'est compté qu'une fois).

3. Dans un jeu de 32 cartes, A = « la carte est un cœur » et B = « la carte est un roi ». Quelle carte réalise à la fois A et B ?

   Réponse le roi de cœur, et elle seule

   Réaliser A ET B, c'est appartenir à l'intersection A∩B : la carte doit être à la fois un cœur et un roi. Une seule carte convient, le roi de cœur. A et B ne sont donc pas incompatibles, puisque A∩B n'est pas vide.