Événements incompatibles

L'essentiel

Parfois, deux événements ne peuvent JAMAIS se réaliser en même temps. On dit alors qu'ils sont INCOMPATIBLES (on dit aussi « disjoints »). Cela veut dire qu'aucune issue ne réalise les deux à la fois : leur intersection est VIDE, ce qu'on note A∩B = ∅ (l'ensemble vide).

Comme il n'y a aucune issue favorable à l'intersection, P(A∩B) = 0. Un exemple parlant avec le dé : A = « obtenir un nombre PAIR » = {2, 4, 6} et B = « obtenir un nombre IMPAIR » = {1, 3, 5}. Un même lancer ne peut pas être à la fois pair et impair : aucune face n'est commune, donc A∩B = ∅ et P(A∩B) = 0. Sur un diagramme de Venn, les deux ronds ne se CHEVAUCHENT PAS : ils sont séparés. Que devient alors la formule P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) ?

Puisque P(A∩B) = 0, le terme retranché disparaît, et il reste simplement P(A∪B) = P(A) + P(B). Pour « pair » et « impair » : P(A∪B) = 1/2 + 1/2 = 1. C'est logique : « pair OU impair » couvre TOUTES les faces du dé, c'est donc un événement certain (probabilité 1). Attention à ne pas confondre : deux événements incompatibles ne sont pas forcément contraires.

Ici pair et impair sont à la fois incompatibles ET contraires. Mais « faire 1 » et « faire 2 » sont incompatibles (jamais ensemble) sans être contraires (leur réunion ne couvre pas tout).

Comprendre

Ce concept traite le cas particulier des événements INCOMPATIBLES (ou disjoints) : deux événements qui ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est vide (A∩B = ∅), donc P(A∩B) = 0. Sur un diagramme de Venn, les deux disques ne se chevauchent pas. Conséquence directe sur la formule d'inclusion-exclusion : comme P(A∩B) = 0, le terme retranché s'annule et P(A∪B) = P(A) + P(B).

Exemple de référence avec le dé : « pair » = {2, 4, 6} et « impair » = {1, 3, 5} n'ont aucune face commune, donc P(A∪B) = 1/2 + 1/2 = 1 (« pair ou impair » est certain). Distinction importante à installer : incompatibles n'est pas synonyme de contraires. Deux événements CONTRAIRES sont incompatibles ET couvrent ensemble toutes les issues (P(A) + P(Ā) = 1).

Deux événements simplement incompatibles ne se produisent jamais ensemble mais ne couvrent pas nécessairement tout (par exemple « faire 1 » et « faire 2 » : incompatibles, mais leur réunion vaut seulement 2/6). Point de vigilance : avant de simplifier en P(A) + P(B), il faut VÉRIFIER que l'intersection est bien vide ; sur des événements qui se chevauchent (comme pair et multiple de 3), cette simplification serait fausse.

Le cours

ÉVÉNEMENTS INCOMPATIBLES. DÉFINITION. Deux événements A et B sont INCOMPATIBLES (on dit aussi disjoints) lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser EN MÊME TEMPS : aucune issue ne réalise les deux à la fois.

Leur intersection est alors VIDE, ce qu'on note A∩B = ∅, et donc P(A∩B) = 0. LE DIAGRAMME DE VENN. Pour deux événements incompatibles, les deux disques du diagramme de Venn ne se CHEVAUCHENT PAS : ils sont séparés, sans zone commune. SIMPLIFICATION DE LA FORMULE.

La formule générale est P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Quand A et B sont incompatibles, P(A∩B) = 0, donc le terme retranché disparaît : P(A∪B) = P(A) + P(B). EXEMPLE FIL ROUGE.

Avec le dé équilibré, A = « nombre PAIR » = {2, 4, 6} et B = « nombre IMPAIR » = {1, 3, 5}. Une face ne peut pas être à la fois paire et impaire : A∩B = ∅, P(A∩B) = 0. Donc P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1. C'est cohérent : « pair ou impair » regroupe les 6 faces, c'est un événement CERTAIN (probabilité 1). INCOMPATIBLES ≠ CONTRAIRES.

Attention à ne pas confondre. Deux événements CONTRAIRES (A et Ā) sont incompatibles ET couvrent ensemble toutes les issues, d'où P(A) + P(Ā) = 1. Deux événements simplement INCOMPATIBLES ne se produisent jamais ensemble, mais ne couvrent pas forcément tout : par exemple « faire 1 » = {1} et « faire 2 » = {2} sont incompatibles, mais P(« 1 » ∪ « 2 ») = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3, ce n'est pas 1. Points de vigilance. (1) Toujours VÉRIFIER que l'intersection est vide avant d'écrire P(A∪B) = P(A) + P(B). (2) Sur des événements qui se chevauchent (pair et multiple de 3), cette simplification serait FAUSSE : il faut alors la formule complète. (3) Incompatibles ne veut pas dire contraires. À retenir : incompatibles ⇔ A∩B = ∅ ⇔ P(A∩B) = 0 ; alors P(A∪B) = P(A) + P(B) ; pair et impair : 1/2 + 1/2 = 1.

Les erreurs fréquentes

On applique P(A∪B) = P(A) + P(B) sans vérifier que les événements sont incompatibles.

La simplification P(A∪B) = P(A) + P(B) n'est valable que si A∩B = ∅ (P(A∩B) = 0). Pour des événements qui se chevauchent (pair et multiple de 3, qui partagent le 6), il faut la formule complète avec le − P(A∩B).

On croit que deux événements incompatibles sont toujours contraires.

Incompatibles = ne se produisent jamais ensemble (A∩B = ∅). Contraires = incompatibles ET couvrant toutes les issues (P(A) + P(Ā) = 1). « Faire 1 » et « faire 2 » sont incompatibles mais pas contraires : leur réunion vaut 1/3, pas 1.

On pense qu'une intersection vide a une probabilité indéfinie ou différente de 0.

Si A∩B = ∅, il n'y a aucune issue favorable à l'intersection, donc P(A∩B) = 0. C'est ce 0 qui fait disparaître le terme retranché dans la formule.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître deux événements incompatibles : A∩B = ∅ et P(A∩B) = 0.
• Représenter deux événements incompatibles par deux disques disjoints (sans chevauchement).
• Simplifier la formule en P(A∪B) = P(A) + P(B) lorsque A∩B = ∅.
• Distinguer événements incompatibles et événements contraires (ex. pair/impair sont les deux ; faire 1 / faire 2 sont seulement incompatibles).

Vérifie que tu as compris

1. Quand dit-on que deux événements A et B sont incompatibles ?

   Réponse quand ils ne peuvent pas se produire en même temps : A∩B = ∅

   Deux événements incompatibles (ou disjoints) n'ont aucune issue commune : leur intersection est vide et P(A∩B) = 0. La formule se simplifie alors en P(A∪B) = P(A) + P(B).

2. Avec le dé, « pair » = {2, 4, 6} et « impair » = {1, 3, 5}. Que vaut P(« pair » ∪ « impair ») ?

   Réponse 1 (événements incompatibles : 1/2 + 1/2)

   Aucune face n'est à la fois paire et impaire : A∩B = ∅, P(A∩B) = 0. La formule se simplifie en P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1. C'est logique : « pair ou impair » couvre les 6 faces (événement certain).

3. Deux événements contraires sont-ils toujours incompatibles ? Et deux événements incompatibles sont-ils toujours contraires ?

   Réponse oui : deux contraires sont incompatibles ; mais la réciproque est fausse

   Deux événements contraires vérifient A∩B = ∅ ET A∪B = toutes les issues : ils sont donc bien incompatibles. La réciproque est fausse : sur un dé, « obtenir 1 » et « obtenir 5 » sont incompatibles sans être contraires, car les faces 2, 3, 4 et 6 n'appartiennent à aucun des deux.