La loi des grands nombres

L'essentiel

Jusqu'ici, on a CALCULÉ des probabilités (des nombres théoriques). Mais que se passe-t-il quand on FAIT vraiment l'expérience ? Prends une pièce équilibrée : la probabilité de « pile » est 1/2 = 0,5. Si tu la lances seulement 10 fois, tu peux très bien obtenir 7 piles (fréquence 0,7) ou 3 piles (fréquence 0,3) : sur un PETIT nombre de lancers, la fréquence observée SAUTE, elle est instable.

C'est ce qu'on appelle la FLUCTUATION D'ÉCHANTILLONNAGE. La FRÉQUENCE d'un événement, c'est le nombre de fois où il s'est produit ÷ le nombre total d'essais. La LOI DES GRANDS NOMBRES dit quelque chose de très important : plus on RÉPÈTE l'expérience (100 lancers, 1000 lancers, 10 000 lancers…), plus la fréquence observée se RAPPROCHE de la probabilité.

Pour la pièce, la fréquence de « pile » va d'abord osciller (0,3 ; 0,7 ; 0,4…) puis se STABILISER de plus en plus près de 0,5. Si tu traces la courbe de la fréquence en fonction du nombre de lancers, elle part en zigzag puis s'aplatit et vient coller à la ligne horizontale de hauteur 0,5. Deux idées à retenir. (1) La probabilité est une valeur THÉORIQUE ; la fréquence est ce qu'on OBSERVE réellement. (2) Elles se rejoignent quand le nombre d'essais devient grand. Attention : sur un petit nombre d'essais, il est NORMAL que la fréquence s'écarte de la probabilité — cela ne veut pas dire que la pièce est truquée. Cette loi justifie aussi qu'on puisse ESTIMER une probabilité inconnue en répétant beaucoup l'expérience et en observant la fréquence.

Comprendre

Ce concept fait le lien entre la probabilité (théorique) et la fréquence (observée) : la LOI DES GRANDS NOMBRES. La FRÉQUENCE d'un événement = nombre de réalisations ÷ nombre total d'essais. La loi énonce que lorsqu'on répète une expérience aléatoire un TRÈS GRAND nombre de fois, la fréquence observée se RAPPROCHE de la probabilité de l'événement.

Exemple de référence : une pièce équilibrée, P(« pile ») = 1/2 = 0,5. Sur un petit nombre de lancers, la fréquence de « pile » FLUCTUE fortement (0,3 ; 0,7…) — c'est la fluctuation d'échantillonnage, et c'est normal. À mesure que le nombre de lancers augmente (100, 1000, 10 000…), la fréquence se stabilise et converge vers 0,5. Représentée graphiquement, la courbe de la fréquence en fonction du nombre d'essais oscille beaucoup au début puis s'aplatit autour de la droite horizontale de hauteur 0,5. Trois idées clés. (1) Distinguer probabilité (valeur théorique fixe) et fréquence (résultat observé, variable). (2) Elles se rejoignent seulement pour un GRAND nombre d'essais ; un écart sur peu d'essais est attendu et ne signale pas un truquage. (3) La loi permet, à l'inverse, d'ESTIMER une probabilité inconnue à partir de la fréquence observée sur de nombreuses répétitions. Point de vigilance : la loi ne garantit jamais un résultat exact sur un petit échantillon ; elle décrit une TENDANCE quand le nombre d'essais devient grand.

Le cours

LA LOI DES GRANDS NOMBRES. FRÉQUENCE ET PROBABILITÉ. On a appris à calculer la PROBABILITÉ d'un événement : c'est une valeur théorique (par exemple P(« pile ») = 1/2 pour une pièce équilibrée).

Quand on RÉALISE vraiment l'expérience, on observe une FRÉQUENCE : fréquence = nombre de fois où l'événement se produit ÷ nombre total d'essais. La probabilité est théorique ; la fréquence est observée. FLUCTUATION D'ÉCHANTILLONNAGE.

Sur un PETIT nombre d'essais, la fréquence observée peut s'écarter nettement de la probabilité. En lançant 10 fois une pièce équilibrée, on peut obtenir 7 piles (fréquence 0,7) ou 3 piles (fréquence 0,3) : la fréquence est instable, elle « saute » d'un essai à l'autre. Cet écart naturel s'appelle la fluctuation d'échantillonnage ; il est normal et ne signifie pas que la pièce est truquée.

LA LOI DES GRANDS NOMBRES. Lorsqu'on répète une expérience aléatoire un TRÈS GRAND nombre de fois, la fréquence observée d'un événement se RAPPROCHE de sa probabilité. Autrement dit, plus le nombre d'essais est grand, plus la fréquence se stabilise près de la probabilité.

Pour la pièce équilibrée, la fréquence de « pile » se rapproche de plus en plus de 0,5 quand on passe de 10 à 100, 1000, 10 000 lancers. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE. Si on trace la fréquence de « pile » en fonction du nombre de lancers, la courbe oscille beaucoup au début (grands zigzags), puis les oscillations s'AMORTISSENT et la courbe vient se coller à la droite horizontale de hauteur 0,5. UTILITÉ.

La loi des grands nombres permet aussi d'ESTIMER une probabilité inconnue : si on ne connaît pas la probabilité d'un événement, on répète l'expérience un grand nombre de fois et on prend la fréquence observée comme estimation. Points de vigilance. (1) Ne pas confondre probabilité (théorique, fixe) et fréquence (observée, variable). (2) Sur un petit nombre d'essais, un écart à la probabilité est NORMAL. (3) La loi décrit une TENDANCE pour un grand nombre d'essais, pas une garantie exacte. À retenir : fréquence = réalisations ÷ essais ; la loi des grands nombres : quand le nombre d'essais devient grand, la fréquence se rapproche de la probabilité (pièce : vers 0,5).

Les erreurs fréquentes

On confond la probabilité (théorique) et la fréquence (observée), comme si c'était toujours le même nombre.

La probabilité est une valeur théorique fixe (P(pile) = 0,5). La fréquence est ce qu'on observe en faisant l'expérience ; elle varie d'un essai à l'autre. Elles se RAPPROCHENT seulement quand le nombre d'essais devient grand.

On pense qu'après avoir obtenu beaucoup de « face », la pièce « doit » compenser en donnant « pile » au coup suivant.

Chaque lancer est indépendant : la pièce n'a pas de mémoire, P(pile) reste 0,5 à chaque coup. C'est sur un TRÈS GRAND nombre de lancers que la fréquence se rapproche de 0,5, pas par compensation coup par coup.

On croit qu'un écart entre fréquence et probabilité sur peu d'essais prouve que le dé ou la pièce est truqué.

Sur un petit nombre d'essais, la fréquence fluctue naturellement (fluctuation d'échantillonnage) : un écart est attendu. Il faut un grand nombre d'essais pour que la fréquence reflète fidèlement la probabilité.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer une fréquence observée comme le nombre de réalisations divisé par le nombre total d'essais.
• Énoncer la loi des grands nombres : quand le nombre d'essais devient grand, la fréquence se rapproche de la probabilité.
• Interpréter que la fréquence de « pile » d'une pièce équilibrée se stabilise vers 0,5 quand on répète beaucoup les lancers.
• Distinguer probabilité (théorique) et fréquence (observée), et comprendre que la fluctuation sur un petit échantillon est normale.

Vérifie que tu as compris

1. Que dit la loi des grands nombres ?

   Réponse en répétant beaucoup, la fréquence se rapproche de la probabilité

   La loi des grands nombres relie fréquence observée et probabilité théorique : plus le nombre d'essais est grand, plus la fréquence se stabilise près de la probabilité. Pour une pièce équilibrée, la fréquence de « pile » tend vers 0,5.

2. On lance une pièce équilibrée : 7 piles sur 10 lancers, puis 503 piles sur 1000 lancers. Que peut-on en dire ?

   Réponse la fréquence passe de 0,70 à 0,503 : elle se rapproche de 0,5

   7 ÷ 10 = 0,70 et 503 ÷ 1000 = 0,503. Sur peu de lancers, la fréquence fluctue (0,70) ; sur beaucoup de lancers, elle se rapproche de la probabilité 0,5. C'est la loi des grands nombres ; l'écart sur 10 lancers est normal (fluctuation d'échantillonnage).

3. Un dé est lancé 2 000 fois : la face 6 y apparaît 640 fois. Que peut-on soupçonner ?

   Réponse que le dé est truqué : la fréquence 0,32 est loin de 1/6 ≈ 0,17

   La fréquence observée vaut 640 ÷ 2 000 = 0,32, alors qu'un dé équilibré donnerait environ 1/6 ≈ 0,17. Sur 2 000 lancers, la loi des grands nombres impose une fréquence proche de la probabilité : un écart aussi net trahit un dé truqué. La probabilité, elle, ne change pas d'un lancer à l'autre.