La formule de la réunion

L'essentiel

Tu sais maintenant reconnaître A∪B et A∩B. Voici une formule qui donne P(A∪B) sans avoir à tout redénombrer : P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). D'où vient le « − P(A∩B) » ?

Imagine que tu additionnes P(A) et P(B). Les issues qui appartiennent aux DEUX événements (l'intersection) sont alors comptées DEUX fois : une fois dans P(A), une fois dans P(B). Pour rétablir le bon compte, on RETRANCHE une fois l'intersection.

C'est le principe « on additionne, puis on enlève ce qu'on a compté en double ». Appliquons-le au dé fil rouge. On a P(A) = 1/2 (nombre pair), P(B) = 1/3 (multiple de 3) et P(A∩B) = 1/6 (la face 6).

Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur, 6 : P(A) = 3/6, P(B) = 2/6, P(A∩B) = 1/6. Alors P(A∪B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3. Vérification : au concept précédent, on avait trouvé A∪B = {2, 3, 4, 6} par dénombrement direct, soit 4/6 = 2/3 — même résultat ! La formule et le comptage direct sont cohérents. Si tu OUBLIES de retrancher l'intersection, tu obtiens 3/6 + 2/6 = 5/6, ce qui est TROP : tu as compté la face 6 deux fois.

Retenir la formule évite cette erreur.

Comprendre

Ce concept est le cœur du chapitre : la formule d'inclusion-exclusion P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). L'idée est simple. Si on additionne naïvement P(A) et P(B), les issues situées dans l'intersection A∩B sont comptées DEUX fois (une fois dans A, une fois dans B).

Pour corriger, on retranche une fois P(A∩B). D'où P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Sur le dé équilibré fil rouge : P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(A∩B) = 1/6. En réduisant au même dénominateur 6 : P(A∪B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3. Ce résultat COÏNCIDE avec le dénombrement direct du concept précédent (A∪B = {2, 3, 4, 6} → 4/6), ce qui valide la formule.

Deux points clés. (1) Ne pas oublier le « − P(A∩B) » : sinon on surcompte l'intersection (ici on obtiendrait 5/6 au lieu de 2/3). (2) Pour additionner et soustraire des fractions, il faut les mettre au même dénominateur. La formule est générale ; quand l'intersection est vide (événements incompatibles, concept suivant), P(A∩B) = 0 et la formule se réduit à P(A) + P(B).

Le cours

LA FORMULE P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). LE PROBLÈME DU DOUBLE COMPTAGE. On veut calculer la probabilité de la réunion A∪B.

Une première idée serait d'additionner P(A) et P(B). Mais les issues qui appartiennent AUX DEUX événements (celles de l'intersection A∩B) sont alors comptées DEUX fois : une fois quand on compte A, une fois quand on compte B. La somme P(A) + P(B) est donc TROP GRANDE d'exactement P(A∩B). LA FORMULE.

Pour corriger le double comptage, on retranche une fois l'intersection : P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). C'est la formule dite d'inclusion-exclusion. Le programme l'écrit sous une forme équivalente, sans soustraction : P(A∪B) + P(A∩B) = P(A) + P(B).

APPLICATION AU DÉ FIL ROUGE. Rappel : A = « pair » = {2, 4, 6}, P(A) = 1/2 ; B = « multiple de 3 » = {3, 6}, P(B) = 1/3 ; A∩B = {6}, P(A∩B) = 1/6. Pour calculer, on met tout au même dénominateur 6 : P(A) = 3/6, P(B) = 2/6, P(A∩B) = 1/6. Alors P(A∪B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3. VÉRIFICATION PAR LE DÉNOMBREMENT. Au concept précédent, on avait trouvé A∪B = {2, 3, 4, 6}, soit 4 issues sur 6, donc 4/6 = 2/3. On retrouve exactement le même résultat : la formule est cohérente avec le comptage direct.

CE QUI SE PASSE SI ON OUBLIE LE − P(A∩B). On obtiendrait P(A) + P(B) = 3/6 + 2/6 = 5/6, ce qui est FAUX : on aurait compté la face 6 deux fois. C'est précisément pour éviter cela qu'on retranche l'intersection.

Points de vigilance. (1) Ne jamais oublier le « − P(A∩B) ». (2) Mettre les fractions au même dénominateur avant d'additionner et de soustraire. (3) Vérifier que le résultat reste compris entre 0 et 1. À retenir : P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) ; l'intersection, comptée deux fois dans P(A) + P(B), est retranchée une fois ; sur le dé, 1/2 + 1/3 − 1/6 = 4/6 = 2/3.

Les erreurs fréquentes

On écrit P(A∪B) = P(A) + P(B) en oubliant de retrancher l'intersection.

En additionnant P(A) + P(B), on compte DEUX fois les issues de l'intersection. Il faut retrancher une fois P(A∩B) : P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Sur le dé, on obtient 4/6 = 2/3, pas 5/6.

On additionne les fractions sans les mettre au même dénominateur (par exemple 1/2 + 1/3 = 2/5).

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut un dénominateur commun. Ici 6 : 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6, 1/6 = 1/6. Donc 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3.

On retranche P(A∩B) deux fois, ou on l'ajoute au lieu de la retrancher.

L'intersection n'est comptée en trop qu'une seule fois dans P(A) + P(B), donc on la retranche UNE seule fois. La formule est P(A) + P(B) − P(A∩B), avec un seul « − ».

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la formule P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
• Expliquer pourquoi on retranche l'intersection : elle est comptée deux fois dans P(A) + P(B).
• Appliquer la formule sur le dé : 1/2 + 1/3 − 1/6 = 4/6 = 2/3, après réduction au même dénominateur.
• Vérifier la cohérence avec le dénombrement direct (A∪B = {2, 3, 4, 6} = 2/3).

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est la formule donnant la probabilité de la réunion de deux événements ?

   Réponse P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

   On additionne P(A) et P(B), mais les issues de l'intersection sont alors comptées deux fois. On retranche donc une fois P(A∩B) : P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).

2. Sur le dé, P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 et P(A∩B) = 1/6. Que vaut P(A∪B) ?

   Réponse 4/6 = 2/3 (1/2 + 1/3 − 1/6)

   P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3. C'est cohérent avec le dénombrement A∪B = {2, 3, 4, 6}. Oublier le − 1/6 donnerait 5/6, qui compte deux fois la face 6.

3. Pourquoi retranche-t-on P(A∩B) dans la formule de la probabilité d'une réunion ?

   Réponse parce que les issues communes à A et B seraient sinon comptées deux fois

   En additionnant P(A) et P(B), les issues qui appartiennent aux deux événements sont comptabilisées deux fois. On corrige donc en retranchant une fois P(A∩B). Si A et B sont incompatibles, P(A∩B) = 0 et la correction disparaît : P(A∪B) = P(A) + P(B).