Rappel : probabilité et événement contraire

L'essentiel

Une expérience aléatoire, c'est une expérience dont on ne connaît pas le résultat à l'avance : lancer un dé, tirer une carte, jouer à pile ou face. Chaque résultat possible s'appelle une ISSUE. Quand toutes les issues ont exactement la même chance de se produire, on dit qu'il y a ÉQUIPROBABILITÉ — c'est le cas d'un dé équilibré à 6 faces : chaque face a 1 chance sur 6. Pour mesurer la « chance » d'un événement, on calcule une probabilité : P(événement) = nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles.

Exemple avec le dé : l'événement A = « obtenir un nombre PAIR » correspond aux faces 2, 4 et 6, soit 3 cas favorables sur 6 cas possibles, donc P(A) = 3/6 = 1/2. Une probabilité est toujours un nombre entre 0 et 1 : 0 pour un événement impossible (obtenir un 7 avec ce dé), 1 pour un événement certain (obtenir un nombre entre 1 et 6). Dernier rappel utile pour tout le chapitre : l'événement CONTRAIRE de A, noté Ā, se réalise quand A ne se réalise PAS. Comme A et Ā couvrent ensemble toutes les issues, on a P(A) + P(Ā) = 1, donc P(Ā) = 1 − P(A).

Pour A = « pair », Ā = « impair » et P(Ā) = 1 − 1/2 = 1/2. Ces outils vus en 4e sont le point de départ : dans ce chapitre, on va apprendre à combiner DEUX événements (A ou B, A et B).

Comprendre

Ce concept rappelle les bases de probabilité du cycle 4, socle indispensable avant d'aborder les notions nouvelles de la 3e (réunion, intersection, formule, incompatibilité, loi des grands nombres). Trois idées à réactiver. (1) En ÉQUIPROBABILITÉ, P(événement) = nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles : on compte les issues qui réalisent l'événement, on divise par le nombre total d'issues. (2) Une probabilité est toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain) ; elle ne peut jamais être négative ni dépasser 1. (3) L'événement CONTRAIRE Ā se réalise exactement quand A échoue, et P(Ā) = 1 − P(A). Situation de référence de tout le chapitre : un dé équilibré à 6 faces.

On y définit A = « nombre PAIR » = {2, 4, 6}, d'où P(A) = 3/6 = 1/2, et B = « MULTIPLE DE 3 » = {3, 6}, d'où P(B) = 2/6 = 1/3. Ces deux événements serviront de fil rouge : dès le concept suivant, on cherchera « A ou B » et « A et B ». Point de vigilance : la probabilité se lit toujours comme une FRACTION cas favorables / cas possibles, jamais comme un simple comptage de cas favorables.

Le cours

RAPPEL : PROBABILITÉ, ÉQUIPROBABILITÉ, ÉVÉNEMENT CONTRAIRE. EXPÉRIENCE ALÉATOIRE ET ISSUES. Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat n'est pas prévisible : lancer un dé, tirer une boule, jouer à pile ou face.

Les résultats possibles sont les ISSUES. Un ÉVÉNEMENT est un ensemble d'issues (par exemple « obtenir un nombre pair » regroupe les issues 2, 4, 6). ÉQUIPROBABILITÉ.

On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se produire. C'est le cas d'un dé BIEN ÉQUILIBRÉ (chaque face a 1 chance sur 6) ou d'une pièce équilibrée (pile et face à égalité). CALCUL D'UNE PROBABILITÉ.

En situation d'équiprobabilité : P(événement) = nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles. On compte d'abord le nombre total d'issues (cas possibles), puis le nombre d'issues qui réalisent l'événement (cas favorables), et on écrit la fraction. Exemple : avec un dé, A = « nombre pair » = {2, 4, 6}, soit 3 cas favorables sur 6, donc P(A) = 3/6 = 1/2. ENCADREMENT.

Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : 0 ≤ P ≤ 1. Un événement IMPOSSIBLE a une probabilité 0 (obtenir 7 avec un dé) ; un événement CERTAIN a une probabilité 1 (obtenir un nombre de 1 à 6). ÉVÉNEMENT CONTRAIRE. L'événement contraire de A, noté Ā, est celui qui se réalise quand A ne se réalise PAS.

A et Ā se partagent toutes les issues sans se recouvrir, donc P(A) + P(Ā) = 1 et P(Ā) = 1 − P(A). Exemple : A = « pair » {2, 4, 6}, Ā = « impair » {1, 3, 5}, P(Ā) = 1 − 1/2 = 1/2. LA SITUATION FIL ROUGE DU CHAPITRE. On travaillera avec un dé équilibré à 6 faces et deux événements : A = « nombre PAIR » = {2, 4, 6}, P(A) = 3/6 = 1/2 ; B = « MULTIPLE DE 3 » = {3, 6}, P(B) = 2/6 = 1/3. Points de vigilance. (1) Toujours écrire la probabilité comme une fraction cas favorables ÷ cas possibles, pas comme un simple nombre de cas favorables. (2) Ne jamais donner une probabilité négative ou supérieure à 1. (3) L'événement contraire couvre TOUT le reste des issues, d'où P(A) + P(Ā) = 1. À retenir : P = favorables ÷ possibles ; 0 ≤ P ≤ 1 ; P(Ā) = 1 − P(A).

Les erreurs fréquentes

On donne le nombre de cas favorables au lieu de la probabilité (par exemple « 3 » pour les faces paires).

Une probabilité est une FRACTION : cas favorables ÷ cas possibles. Pour « nombre pair », il y a 3 cas favorables sur 6 possibles, donc P = 3/6 = 1/2, et non 3.

On calcule une probabilité sans vérifier qu'il y a équiprobabilité.

La formule cas favorables ÷ cas possibles n'est valable que si toutes les issues ont la même chance. Il faut d'abord s'assurer que le dé (ou la pièce) est bien ÉQUILIBRÉ.

On confond l'événement contraire avec un autre événement, ou on oublie que P(A) + P(Ā) = 1.

Ā se réalise exactement quand A ne se réalise pas : ensemble, A et Ā couvrent toutes les issues. Donc P(A) + P(Ā) = 1 et P(Ā) = 1 − P(A). Pour A = « pair », Ā = « impair », P(Ā) = 1 − 1/2 = 1/2.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer une probabilité en équiprobabilité comme le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.
• Savoir qu'une probabilité est toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain).
• Déterminer la probabilité de l'événement contraire avec P(Ā) = 1 − P(A).
• Sur le dé équilibré, donner P(« pair ») = 3/6 = 1/2 et P(« multiple de 3 ») = 2/6 = 1/3.

Vérifie que tu as compris

1. En situation d'équiprobabilité, comment calcule-t-on la probabilité d'un événement ?

   Réponse P = nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles

   En équiprobabilité, la probabilité est la fraction cas favorables ÷ cas possibles. Avec un dé équilibré, P(« pair ») = 3/6 = 1/2. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.

2. Avec un dé équilibré, A = « nombre pair ». Quelles sont P(A) et la probabilité de l'événement contraire Ā ?

   Réponse P(A) = 3/6 = 1/2 et P(Ā) = 1/2

   Les faces paires sont 2, 4, 6 : 3 cas sur 6, donc P(A) = 3/6 = 1/2. L'événement contraire (« impair ») a pour probabilité 1 − P(A) = 1 − 1/2 = 1/2, car P(A) + P(Ā) = 1.

3. Que vaut la somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire ?

   Réponse 1

   Les issues se partagent la totalité des cas possibles : leurs probabilités s'additionnent pour donner 1, soit 100 %. Avec un dé équilibré, 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1. C'est vrai même quand les issues ne sont pas équiprobables.