Fonctions linéaires et affines
Ce chapitre se travaille en 5 notions. Chacune a sa page : une scène qui la montre en mouvement, l'idée à retenir, et les quatre étapes pour la maîtriser — de « reconnaître » à « transférer ».
Ce que tu apprends dans ce chapitre
- La fonction linéaire x ↦ axUn cahier coûte 3 €. Le prix de x cahiers s'écrit f : x ↦ 3x. Combien coûtent 4 cahiers ? On entre dans les fonctions linéaires.
Une FONCTION LINÉAIRE est la façon mathématique d'écrire une situation de PROPORTIONNALITÉ. On la note f : x ↦ ax : à chaque nombre x on associe son produit par un nombre fixe a, appelé COEFFICIENT de la…
- Représentation graphique d'une fonction linéaireÀ quoi ressemble la courbe de f : x ↦ 2x ? Une droite — mais par où passe-t-elle ?
Pour DESSINER une fonction, on place dans un repère les points de coordonnées (x ; f(x)). Pour une fonction LINÉAIRE f : x ↦ ax, tous ces points sont ALIGNÉS : ils forment une DROITE. Et cette droite…
- La fonction affine x ↦ ax + bUne salle de sport : 1 € d'inscription + 2 € par séance. Le prix de x séances s'écrit f : x ↦ 2x + 1. Combien coûtent 3 séances ?
Une FONCTION AFFINE ressemble à une fonction linéaire, mais avec un nombre AJOUTÉ à la fin. Elle s'écrit f : x ↦ ax + b, où a et b sont deux nombres fixes : a s'appelle le COEFFICIENT…
- Représentation graphique d'une fonction affineOn trace f : x ↦ 2x + 1. Où la droite coupe-t-elle l'axe des ordonnées, et comment monte-t-elle ?
Comme pour une fonction linéaire, la représentation d'une fonction affine f : x ↦ ax + b est une DROITE. Mais cette fois, elle ne passe plus forcément par l'origine : elle est « décalée » vers le…
- Déterminer une fonction affineUne droite passe par (1 ; 3) et (3 ; 7). Quelle fonction affine représente-t-elle ? C'est le sommet du chapitre.
Parfois on connaît DEUX points d'une droite et on veut retrouver la fonction affine f : x ↦ ax + b qui lui correspond. On procède en deux temps. ÉTAPE 1 — trouver le coefficient directeur a. C'est…
Ce que tu dois savoir faire
À la fin de ce chapitre, voici ce que tu dois être capable de faire. Chaque ligne est un objectif du programme — retrouve-le dans la notion qui le travaille.
- Reconnaître une fonction linéaire x ↦ ax comme modèle d'une situation de proportionnalité, a étant le coefficient (le prix unitaire).
- Calculer l'image d'un nombre par une fonction linéaire : pour f : x ↦ 3x, f(4) = 3 × 4 = 12 et f(0) = 0 (l'image est proportionnelle à x).
- Représenter graphiquement une fonction linéaire par une droite passant par l'origine (0 ; 0) : f : x ↦ 2x passe par (0 ; 0), (1 ; 2) et (3 ; 6).
- Relier le coefficient a à la pente de la droite : quand x augmente de 1, y augmente de a (pour f : x ↦ 2x, + 1 en x donne + 2 en y).
- Reconnaître une fonction affine x ↦ ax + b (a coefficient directeur, b constante) et identifier une fonction linéaire comme le cas particulier b = 0.
- Calculer l'image d'un nombre par une fonction affine : pour f : x ↦ 2x + 1, f(0) = 1 et f(3) = 2 × 3 + 1 = 7.
- Lire l'ordonnée à l'origine b sur la représentation graphique d'une fonction affine : le point (0 ; b) où la droite coupe l'axe des ordonnées (f : x ↦ 2x + 1 coupe l'axe des y en (0 ; 1)).
- Relier le coefficient directeur a à la pente de la droite : lorsque x augmente de 1, y augmente de a (pour f : x ↦ 2x + 1, + 1 en x donne + 2 en y).
- Déterminer le coefficient directeur d'une fonction affine à partir de deux points : a = (yB − yA) ÷ (xB − xA) ; pour (1 ; 3) et (3 ; 7), a = (7 − 3) ÷ (3 − 1) = 2.
- Déterminer la constante b à l'aide d'un point puis écrire la fonction affine : avec a = 2 et le point (1 ; 3), 3 = 2 × 1 + b donne b = 1, soit f : x ↦ 2x + 1.
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