Représentation graphique d'une fonction linéaire

L'essentiel

Pour DESSINER une fonction, on place dans un repère les points de coordonnées (x ; f(x)). Pour une fonction LINÉAIRE f : x ↦ ax, tous ces points sont ALIGNÉS : ils forment une DROITE. Et cette droite a une propriété qui la rend facile à reconnaître : elle PASSE TOUJOURS PAR L'ORIGINE, le point (0 ; 0), car f(0) = 0. Prenons f : x ↦ 2x.

On calcule quelques images : f(0) = 0, f(1) = 2, f(3) = 6. On obtient les points (0 ; 0), (1 ; 2) et (3 ; 6). On les place, ils sont alignés, on trace la droite qui passe par eux et par l'origine. Le coefficient a = 2 se LIT sur la droite : c'est la PENTE.

Concrètement, quand on avance de 1 vers la droite (x augmente de 1), on monte de a (ici de 2). C'est pour cela qu'on dit que a mesure « l'inclinaison » de la droite : plus a est grand, plus la droite monte vite. Astuce de tracé : comme la droite passe par l'origine, il suffit de DEUX points pour la tracer — l'origine (0 ; 0) et un autre point, par exemple (1 ; a).

Attention : si la droite ne passe pas par l'origine, la fonction n'est pas linéaire.

Comprendre

Ce concept donne l'image géométrique de la fonction linéaire. Représenter f, c'est placer les points (x ; f(x)). Pour f : x ↦ ax, ces points sont ALIGNÉS sur une DROITE passant par l'ORIGINE (0 ; 0), car f(0) = 0. Le coefficient a est la PENTE (ou coefficient directeur) : quand x augmente de 1, y augmente de a.

Exemple fil rouge : f : x ↦ 2x. Images : f(0) = 0, f(1) = 2, f(3) = 6 → points (0 ; 0), (1 ; 2), (3 ; 6), alignés. On trace la droite par l'origine et ces points.

Comme la droite passe par l'origine, DEUX points suffisent (l'origine et (1 ; a)). Le signe et la valeur de a se lisent sur la pente : a > 0 → droite montante, a plus grand → montée plus raide. Points de vigilance : une droite linéaire passe TOUJOURS par (0 ; 0) (si ce n'est pas le cas, la fonction n'est pas linéaire) ; et bien lire la pente comme « + 1 en x → + a en y ».

Cette lecture prépare la fonction affine, dont la droite ne passe plus forcément par l'origine.

Le cours

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION LINÉAIRE. LES POINTS (x ; f(x)). Représenter une fonction dans un repère, c'est placer les points dont l'abscisse est x et l'ordonnée est f(x).

UNE DROITE PAR L'ORIGINE. Pour une fonction linéaire f : x ↦ ax, tous ces points sont ALIGNÉS : la représentation est une DROITE. De plus, cette droite PASSE PAR L'ORIGINE du repère, le point (0 ; 0), car f(0) = a × 0 = 0. EXEMPLE FIL ROUGE.

Soit f : x ↦ 2x. On calcule quelques images : f(0) = 0, f(1) = 2, f(3) = 6. On obtient les points (0 ; 0), (1 ; 2) et (3 ; 6). On les place dans le repère : ils sont alignés.

On trace la droite passant par ces points (et par l'origine). LE COEFFICIENT a EST LA PENTE. Sur la droite, le coefficient a se lit comme la PENTE (aussi appelée coefficient directeur) : quand x augmente de 1, y augmente de a.

Pour f : x ↦ 2x, en avançant de 1 en abscisse, on monte de 2 en ordonnée. Plus a est grand, plus la droite est « raide ». TRACER RAPIDEMENT.

Comme la droite passe par l'origine, DEUX points suffisent : l'origine (0 ; 0) et un second point, par exemple (1 ; a) — ici (1 ; 2). On relie ces deux points et on prolonge. RECONNAÎTRE.

Une droite représente une fonction linéaire si et seulement si elle passe par l'origine. Points de vigilance. (1) La droite passe TOUJOURS par (0 ; 0) : sinon la fonction n'est pas linéaire. (2) La pente se lit « + 1 en x → + a en y ». (3) Deux points bien choisis suffisent, mais on peut en calculer un troisième pour vérifier l'alignement. À retenir : fonction linéaire → droite par l'origine ; a = pente (+ 1 en x → + a en y) ; f : x ↦ 2x passe par (0 ; 0), (1 ; 2), (3 ; 6).

Les erreurs fréquentes

On trace une droite qui ne passe pas par l'origine pour une fonction linéaire.

La droite d'une fonction linéaire PASSE TOUJOURS par l'origine (0 ; 0), car f(0) = 0. Pour f : x ↦ 2x, la droite passe par (0 ; 0), (1 ; 2), (3 ; 6). Si la droite coupe l'axe des y ailleurs qu'en 0, la fonction n'est pas linéaire.

On confond la pente a avec l'ordonnée d'un point, ou on lit « + 1 en x → + 1 en y » quel que soit a.

La pente a signifie : quand x augmente de 1, y augmente de a. Pour f : x ↦ 2x, avancer de 1 en x fait monter de 2 en y (pas de 1). Le coefficient a mesure l'inclinaison de la droite.

On place mal les points en inversant abscisse et ordonnée (x ; f(x)).

Un point du graphique a pour abscisse x (horizontal) et pour ordonnée f(x) (vertical). Le point de f : x ↦ 2x pour x = 3 est (3 ; 6), pas (6 ; 3). On lit toujours (x ; f(x)).

Tu maîtrises la notion si…

• Placer les points (x ; f(x)) d'une fonction linéaire et constater qu'ils sont alignés.
• Tracer la représentation d'une fonction linéaire comme une droite passant par l'origine.
• Lire le coefficient a comme la pente : quand x augmente de 1, y augmente de a.
• Sur f : x ↦ 2x, donner les points (0 ; 0), (1 ; 2), (3 ; 6) et tracer la droite.

Vérifie que tu as compris

1. La représentation graphique d'une fonction linéaire est…

   Réponse une droite qui passe par l'origine (0 ; 0)

   Pour une fonction linéaire, f(0) = 0 : la droite passe toujours par l'origine (0 ; 0). Par exemple f : x ↦ 2x passe par (0 ; 0), (1 ; 2), (3 ; 6).

2. Pour f : x ↦ 2x, par lequel de ces points passe la droite (autre que l'origine) ?

   Réponse (3 ; 6)

   Un point de la droite est (x ; f(x)) avec f(3) = 2 × 3 = 6, donc (3 ; 6). La pente 2 signifie : + 1 en x → + 2 en y.

3. Deux droites passent par l'origine : celle de x ↦ 5x et celle de x ↦ 2x. Laquelle est la plus raide ?

   Réponse celle de x ↦ 5x

   Le coefficient est la pente : quand x augmente de 1, y augmente de 5 pour x ↦ 5x, mais seulement de 2 pour x ↦ 2x. La droite de x ↦ 5x monte donc plus vite : plus le coefficient est grand, plus la droite est raide.