La fonction linéaire x ↦ ax

L'essentiel

Une FONCTION LINÉAIRE est la façon mathématique d'écrire une situation de PROPORTIONNALITÉ. On la note f : x ↦ ax : à chaque nombre x on associe son produit par un nombre fixe a, appelé COEFFICIENT de la fonction. Dans une situation de prix, ce coefficient a est le PRIX D'UNE UNITÉ, c'est-à-dire l'image de 1 : a = f(1).

Si un cahier coûte 3 €, le prix de x cahiers est f(x) = 3x. On calcule une IMAGE en remplaçant x par sa valeur : f(4) = 3 × 4 = 12 (4 cahiers coûtent 12 €), f(10) = 3 × 10 = 30 (10 cahiers coûtent 30 €). Deux choses très importantes. (1) L'image f(x) est PROPORTIONNELLE à x : si on double x, on double f(x) ; c'est la même proportionnalité qu'en 4e, mais écrite comme une fonction. (2) Une fonction linéaire vérifie TOUJOURS f(0) = a × 0 = 0 : « zéro cahier coûte zéro euro ».

Pour retrouver le coefficient à partir d'une image connue, on divise : si f(4) = 12, alors a = 12 ÷ 4 = 3. Attention : « linéaire » ne veut pas dire « n'importe quelle formule » ; il faut la forme ax, sans nombre ajouté (pas de « + 2 »). f : x ↦ 3x est linéaire, mais f : x ↦ 3x + 2 ne l'est pas (on le verra avec les fonctions affines).

Comprendre

Ce concept relie la proportionnalité de 4e au langage des fonctions. Une FONCTION LINÉAIRE s'écrit f : x ↦ ax : elle multiplie chaque entrée x par un coefficient constant a. Ce coefficient est le « prix unitaire » de la situation de proportionnalité modélisée.

Calculer une image = remplacer x par sa valeur : pour f : x ↦ 3x, f(4) = 3 × 4 = 12 et f(10) = 3 × 10 = 30. Deux propriétés caractérisent une fonction linéaire : (1) l'image f(x) = ax est PROPORTIONNELLE à x (doubler x double f(x)) ; (2) f(0) = 0 (l'image de 0 est toujours 0). On retrouve le coefficient à partir d'une image : a = f(x) ÷ x (ici 12 ÷ 4 = 3). Points de vigilance : ne pas confondre le coefficient a (le multiplicateur) avec une image ; et vérifier qu'il n'y a PAS de terme ajouté — une fonction du type x ↦ ax + b n'est pas linéaire dès que b ≠ 0. Cette forme pure ax prépare la représentation graphique (une droite par l'origine) et, plus loin, la fonction affine.

Le cours

LA FONCTION LINÉAIRE x ↦ ax. DÉFINITION. Une fonction linéaire est une fonction de la forme f : x ↦ ax, où a est un nombre fixé, appelé COEFFICIENT de la fonction.

À chaque nombre x, elle associe le produit ax. LIEN AVEC LA PROPORTIONNALITÉ. Une fonction linéaire est le modèle exact d'une situation de PROPORTIONNALITÉ : le coefficient a est le « prix unitaire ».

Exemple : un cahier coûte 3 €, le prix de x cahiers est f(x) = 3x. CALCULER UNE IMAGE. Pour calculer l'image d'un nombre, on remplace x par sa valeur.

Pour f : x ↦ 3x : f(4) = 3 × 4 = 12 ; f(10) = 3 × 10 = 30 ; f(1) = 3 (l'image de 1 est le coefficient lui-même). PROPRIÉTÉS. (1) L'image f(x) est PROPORTIONNELLE à x : multiplier x par un nombre multiplie f(x) par le même nombre (doubler x double f(x)). (2) L'image de 0 est toujours 0 : f(0) = a × 0 = 0. RETROUVER LE COEFFICIENT. Si on connaît une image, on retrouve a en divisant : a = f(x) ÷ x.

Par exemple, si f(4) = 12, alors a = 12 ÷ 4 = 3, donc f : x ↦ 3x. RECONNAÎTRE UNE FONCTION LINÉAIRE. Il faut la forme ax, SANS terme ajouté. f : x ↦ 3x est linéaire ; f : x ↦ 3x + 2 ne l'est PAS (elle sera dite affine).

Points de vigilance. (1) Le coefficient a est un multiplicateur constant, pas une image. (2) Une fonction linéaire vérifie toujours f(0) = 0. (3) Vérifier qu'il n'y a pas de « + b » : sinon la fonction n'est plus linéaire. À retenir : fonction linéaire = x ↦ ax ; image = remplacer x (f(4) = 3 × 4 = 12) ; proportionnalité (f(0) = 0) ; coefficient a = f(x) ÷ x.

Les erreurs fréquentes

On calcule f(4) en ajoutant le coefficient au lieu de multiplier : « f(4) = 3 + 4 = 7 ».

Une fonction linéaire MULTIPLIE : f(x) = ax. Pour f : x ↦ 3x, f(4) = 3 × 4 = 12, pas 3 + 4 = 7. Le coefficient a est un facteur, pas un terme à ajouter.

On pense que f : x ↦ 3x + 2 est une fonction linéaire.

Une fonction linéaire a la forme ax, SANS nombre ajouté. f : x ↦ 3x est linéaire ; f : x ↦ 3x + 2 possède un terme « + 2 » : elle est affine, pas linéaire. Un indice : pour une fonction linéaire f(0) = 0, alors qu'ici f(0) = 2.

On oublie que f(0) = 0 et on cherche une image de 0 différente de 0.

Pour toute fonction linéaire, f(0) = a × 0 = 0. « Zéro objet coûte zéro euro. » Si on trouve f(0) ≠ 0, c'est que la fonction n'est pas linéaire (ou qu'il y a une erreur de calcul).

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître une fonction linéaire à sa forme x ↦ ax (sans terme ajouté) et identifier le coefficient a.
• Calculer l'image d'un nombre : pour f : x ↦ 3x, f(4) = 3 × 4 = 12 et f(10) = 30.
• Justifier que l'image est proportionnelle à x et que f(0) = 0.
• Retrouver le coefficient à partir d'une image connue : si f(4) = 12, alors a = 12 ÷ 4 = 3.

Vérifie que tu as compris

1. Parmi ces fonctions, laquelle est une fonction linéaire ?

   Réponse f : x ↦ 3x

   Une fonction linéaire a la forme x ↦ ax, sans terme ajouté. f : x ↦ 3x convient (a = 3). Les autres ont un terme constant (ou sont constantes) : f(0) ≠ 0, elles ne sont pas linéaires.

2. Soit f : x ↦ 3x. Combien vaut f(4) ?

   Réponse 12

   On remplace x par 4 et on multiplie : f(4) = 3 × 4 = 12. Ce n'est pas 3 + 4 = 7 (on multiplie, on n'ajoute pas).

3. La fonction linéaire k : x ↦ −6x transforme 2,5 en :

   Réponse −15

   On remplace x par 2,5 et on multiplie : k(2,5) = −6 × 2,5 = −15. Le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif ; on multiplie, on n'ajoute pas (−6 + 2,5 = −3,5 serait faux).