La fonction affine x ↦ ax + b

L'essentiel

Une FONCTION AFFINE ressemble à une fonction linéaire, mais avec un nombre AJOUTÉ à la fin. Elle s'écrit f : x ↦ ax + b, où a et b sont deux nombres fixes : a s'appelle le COEFFICIENT DIRECTEUR et b est une CONSTANTE (un nombre qu'on ajoute toujours). Pour calculer une image, on remplace x, on multiplie par a, PUIS on ajoute b.

Exemple : f : x ↦ 2x + 1. Pour x = 3 : f(3) = 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7. Pour x = 0 : f(0) = 2 × 0 + 1 = 0 + 1 = 1. On voit une différence importante avec les fonctions linéaires : ici f(0) = 1, pas 0 ! C'est le « + 1 » qui décale tout. Une situation typique : un abonnement à une salle de sport coûte 1 € d'inscription (le b) plus 2 € par séance (le a) ; le prix de x séances est f(x) = 2x + 1. Lien à retenir : une fonction LINÉAIRE est un CAS PARTICULIER de fonction affine, celui où b = 0 (x ↦ ax + 0 = ax).

Autrement dit, toutes les fonctions linéaires sont affines, mais l'inverse est faux : x ↦ 2x + 1 est affine sans être linéaire. Attention à l'ordre des opérations : on multiplie AVANT d'ajouter (2 × 3 + 1 = 7, pas 2 × (3 + 1) = 8).

Comprendre

Ce concept généralise la fonction linéaire. Une FONCTION AFFINE s'écrit f : x ↦ ax + b : elle multiplie x par le COEFFICIENT DIRECTEUR a, puis ajoute la CONSTANTE b. Calculer une image = remplacer x, multiplier par a, ajouter b (dans cet ordre).

Exemple fil rouge : f : x ↦ 2x + 1. f(3) = 2 × 3 + 1 = 7 ; f(0) = 2 × 0 + 1 = 1. Contrairement au cas linéaire, f(0) = b (ici 1), pas 0 : le terme b décale la fonction. Lien structurant : une fonction LINÉAIRE est le CAS PARTICULIER b = 0 (x ↦ ax) ; toute fonction linéaire est affine, mais x ↦ 2x + 1 est affine sans être linéaire. Modèle typique : un coût fixe b plus un coût variable a par unité (abonnement 1 € + 2 € la séance → 2x + 1).

Points de vigilance : respecter l'ordre des opérations (× avant +) ; ne pas oublier b, notamment que f(0) = b ; et bien distinguer a (multiplicateur) de b (terme ajouté). Cette forme prépare la lecture graphique où b devient l'ordonnée à l'origine.

Le cours

LA FONCTION AFFINE x ↦ ax + b. DÉFINITION. Une fonction affine est une fonction de la forme f : x ↦ ax + b, où a et b sont deux nombres fixés.

Le nombre a s'appelle le COEFFICIENT DIRECTEUR ; le nombre b est la CONSTANTE (ou terme constant). CALCULER UNE IMAGE. Pour calculer l'image d'un nombre, on remplace x par sa valeur, on multiplie par a, PUIS on ajoute b (on respecte les priorités : la multiplication avant l'addition).

Exemple fil rouge : f : x ↦ 2x + 1. f(3) = 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7 ; f(0) = 2 × 0 + 1 = 0 + 1 = 1 ; f(5) = 2 × 5 + 1 = 11. UNE DIFFÉRENCE AVEC LE CAS LINÉAIRE. Pour une fonction affine, f(0) = a × 0 + b = b : l'image de 0 est la constante b (ici 1), et non 0. C'est le terme b qui « décale » la fonction. UN MODÈLE COURANT.

Une fonction affine modélise un coût fixe plus un coût proportionnel : par exemple, une salle de sport avec 1 € d'inscription (b) et 2 € par séance (a) donne le prix f(x) = 2x + 1 pour x séances. LE LIEN LINÉAIRE / AFFINE. Une fonction linéaire x ↦ ax est le CAS PARTICULIER d'une fonction affine où b = 0 (x ↦ ax + 0).

Ainsi, toute fonction linéaire est affine, mais une fonction affine avec b ≠ 0 (comme x ↦ 2x + 1) n'est PAS linéaire. Points de vigilance. (1) Respecter l'ordre : on multiplie par a avant d'ajouter b (2 × 3 + 1 = 7, pas 2 × 4 = 8). (2) Ne pas oublier b : f(0) = b, pas 0. (3) Distinguer a (le multiplicateur) et b (le terme ajouté). À retenir : fonction affine = x ↦ ax + b ; f : x ↦ 2x + 1 → f(0) = 1, f(3) = 7 ; linéaire = cas b = 0.

Les erreurs fréquentes

On ne respecte pas l'ordre des opérations : f(3) = 2 × (3 + 1) = 8 au lieu de 2 × 3 + 1 = 7.

Dans ax + b, on multiplie AVANT d'ajouter. Pour f : x ↦ 2x + 1, f(3) = 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7. On calcule d'abord 2 × 3, puis on ajoute 1.

On oublie la constante b, notamment on écrit f(0) = 0 pour une fonction affine.

Pour une fonction affine, f(0) = a × 0 + b = b. Pour f : x ↦ 2x + 1, f(0) = 1 (le terme b), pas 0. Oublier b revient à traiter la fonction comme si elle était linéaire.

On croit que toute fonction affine est linéaire, ou l'inverse.

Une fonction linéaire (x ↦ ax) est le cas particulier b = 0 d'une fonction affine : toute linéaire est affine. Mais une affine avec b ≠ 0, comme x ↦ 2x + 1, n'est PAS linéaire (f(0) = 1 ≠ 0).

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître une fonction affine à sa forme x ↦ ax + b et nommer a (coefficient directeur) et b (constante).
• Calculer une image en respectant l'ordre × puis + : pour f : x ↦ 2x + 1, f(3) = 2 × 3 + 1 = 7.
• Donner f(0) = b pour une fonction affine (ici f(0) = 1).
• Expliquer qu'une fonction linéaire est le cas particulier b = 0 d'une fonction affine.

Vérifie que tu as compris

1. Dans la fonction affine f : x ↦ 2x + 1, que valent le coefficient directeur a et la constante b ?

   Réponse a = 2 et b = 1

   Dans ax + b, a est le coefficient directeur (le facteur de x) et b la constante. Ici a = 2 et b = 1.

2. Soit f : x ↦ 2x + 1. Combien vaut f(3) ?

   Réponse 7

   On multiplie avant d'ajouter : f(3) = 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7. Ce n'est pas 2 × (3 + 1) = 8.

3. Pour une fonction affine, à quoi correspond f(0) ?

   Réponse à la constante b

   On remplace x par 0 dans ax + b : f(0) = a × 0 + b = b. L'image de 0 est donc la constante b. Pour f : x ↦ 2x + 1, f(0) = 1. Seule une fonction linéaire, où b = 0, donne f(0) = 0.