Déterminer une fonction affine

L'essentiel

Parfois on connaît DEUX points d'une droite et on veut retrouver la fonction affine f : x ↦ ax + b qui lui correspond. On procède en deux temps. ÉTAPE 1 — trouver le coefficient directeur a.

C'est la pente : la VARIATION de y divisée par la VARIATION de x entre les deux points. Avec A(xA ; yA) et B(xB ; yB) : a = (yB − yA) ÷ (xB − xA). ÉTAPE 2 — trouver la constante b.

On sait maintenant que f(x) = ax + b. On remplace x et f(x) par les coordonnées d'UN des deux points (n'importe lequel) et on résout pour b. Exemple fil rouge : la droite passe par A(1 ; 3) et B(3 ; 7).

Étape 1 : a = (7 − 3) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2 (quand x augmente de 2, y augmente de 4, donc + 2 pour + 1). Étape 2 : la fonction est f(x) = 2x + b ; avec le point (1 ; 3), on écrit 3 = 2 × 1 + b, soit 3 = 2 + b, donc b = 1. Conclusion : f : x ↦ 2x + 1. On peut vérifier avec l'autre point : f(3) = 2 × 3 + 1 = 7 ✓. Deux pièges à éviter : (1) respecter le MÊME ordre des points au numérateur et au dénominateur (yB − yA en haut, xB − xA en bas, pas mélangés) ; (2) ne pas oublier l'étape 2 : trouver a ne suffit pas, il faut encore calculer b.

Comprendre

Ce concept est l'aboutissement du chapitre : reconstruire une fonction affine à partir de deux points. Méthode en deux étapes. (1) COEFFICIENT DIRECTEUR : a = (yB − yA) ÷ (xB − xA), la variation de y sur la variation de x entre A(xA ; yA) et B(xB ; yB). (2) CONSTANTE : connaissant a, on remplace x et f(x) par un point dans f(x) = ax + b et on résout pour b. Exemple fil rouge : droite par (1 ; 3) et (3 ; 7).

Étape 1 : a = (7 − 3) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2. Étape 2 : 3 = 2 × 1 + b → b = 1. Donc f : x ↦ 2x + 1. Vérification avec l'autre point : f(3) = 2 × 3 + 1 = 7 ✓. Points de vigilance : garder le MÊME ordre des points au numérateur et au dénominateur du quotient (sinon signe faux) ; ne pas s'arrêter après a — il faut calculer b ; et vérifier avec le second point. Cette technique mobilise la lecture graphique (concept 4) et boucle le chapitre linéaire → affine → détermination.

Le cours

DÉTERMINER UNE FONCTION AFFINE. LE PROBLÈME. On connaît deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) d'une droite et l'on cherche la fonction affine f : x ↦ ax + b dont c'est la représentation.

On procède en deux étapes. ÉTAPE 1 — LE COEFFICIENT DIRECTEUR a. Le coefficient directeur est la pente, c'est-à-dire la variation de y divisée par la variation de x entre les deux points : a = (yB − yA) ÷ (xB − xA).

ÉTAPE 2 — LA CONSTANTE b. On sait alors que f(x) = ax + b. On remplace x et f(x) par les coordonnées de l'UN des deux points (au choix) et on résout l'équation pour trouver b.

EXEMPLE FIL ROUGE. La droite passe par A(1 ; 3) et B(3 ; 7). Étape 1 : a = (7 − 3) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2. (Interprétation : de A à B, x augmente de 2 et y augmente de 4, donc + 2 en y pour + 1 en x.) Étape 2 : la fonction est f(x) = 2x + b.

Avec le point A(1 ; 3) : 3 = 2 × 1 + b, soit 3 = 2 + b, donc b = 3 − 2 = 1. CONCLUSION. f : x ↦ 2x + 1. VÉRIFICATION. On teste avec l'autre point B(3 ; 7) : f(3) = 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7 ✓. La fonction convient.

Points de vigilance. (1) Garder le MÊME ordre des points au numérateur et au dénominateur : (yB − yA) en haut ET (xB − xA) en bas ; inverser l'un des deux change le signe de a. (2) Ne pas oublier l'étape 2 : connaître a ne suffit pas, il faut calculer b. (3) Toujours vérifier avec le second point. À retenir : a = (yB − yA) ÷ (xB − xA) ; puis b avec un point ; droite par (1 ; 3) et (3 ; 7) → a = 2, b = 1, soit f : x ↦ 2x + 1.

Les erreurs fréquentes

On calcule le coefficient directeur en inversant l'ordre : (yB − yA) ÷ (xA − xB), ce qui donne le mauvais signe.

Il faut garder le MÊME ordre en haut et en bas : a = (yB − yA) ÷ (xB − xA). Pour (1 ; 3) et (3 ; 7) : a = (7 − 3) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2. Inverser seulement le dénominateur donnerait − 2, un signe faux.

On s'arrête après avoir trouvé a et on oublie de calculer b.

Trouver a ne donne que la moitié de la fonction. Il faut ensuite calculer b en remplaçant un point dans f(x) = ax + b : ici 3 = 2 × 1 + b, donc b = 1. La fonction complète est f : x ↦ 2x + 1.

On confond variation de y et variation de x, en calculant a = (xB − xA) ÷ (yB − yA).

Le coefficient directeur est la variation de y DIVISÉE PAR la variation de x (y en haut, x en bas) : a = (yB − yA) ÷ (xB − xA) = 4 ÷ 2 = 2. L'inverse (2 ÷ 4 = 0,5) est faux.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer le coefficient directeur a = (yB − yA) ÷ (xB − xA) à partir de deux points.
• Déterminer la constante b en remplaçant un point dans f(x) = ax + b.
• Sur la droite par (1 ; 3) et (3 ; 7), obtenir a = 2, b = 1 et écrire f : x ↦ 2x + 1.
• Vérifier la fonction trouvée avec le second point (f(3) = 7).

Vérifie que tu as compris

1. Pour déterminer le coefficient directeur a à partir de A(xA ; yA) et B(xB ; yB), on calcule…

   Réponse (yB − yA) ÷ (xB − xA)

   Le coefficient directeur est la variation de y divisée par la variation de x : a = (yB − yA) ÷ (xB − xA). On garde le même ordre des points en haut et en bas.

2. Une droite passe par (1 ; 3) et (3 ; 7). Quelle est sa fonction affine ?

   Réponse f : x ↦ 2x + 1

   a = (7 − 3) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2 ; puis 3 = 2 × 1 + b donne b = 1. Donc f : x ↦ 2x + 1. Vérification : f(3) = 2 × 3 + 1 = 7.

3. Quel est le coefficient directeur de la droite qui relie A(2 ; 9) à B(5 ; 3) ?

   Réponse −2

   a = (yB − yA) ÷ (xB − xA) = (3 − 9) ÷ (5 − 2) = −6 ÷ 3 = −2. La droite descend, ce qui est cohérent avec un coefficient négatif. Diviser la variation de x par celle de y donnerait 3 ÷ (−6) = −0,5, ce qui est faux.