Représentation graphique d'une fonction affine

L'essentiel

Comme pour une fonction linéaire, la représentation d'une fonction affine f : x ↦ ax + b est une DROITE. Mais cette fois, elle ne passe plus forcément par l'origine : elle est « décalée » vers le haut ou le bas par le terme b. Ce nombre b a un nom précis : c'est l'ORDONNÉE À L'ORIGINE.

C'est l'ordonnée du point où la droite COUPE l'AXE DES ORDONNÉES (l'axe vertical), c'est-à-dire le point (0 ; b), car f(0) = b. Le nombre a, lui, est le COEFFICIENT DIRECTEUR : c'est la PENTE de la droite, exactement comme avant — quand x augmente de 1, y augmente de a. Prenons f : x ↦ 2x + 1. La droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 1) : l'ordonnée à l'origine est 1. Et sa pente est 2 : en partant de (0 ; 1) et en avançant de 1 vers la droite, on monte de 2, ce qui amène au point (1 ; 3).

On peut dessiner un petit « escalier » (triangle) : + 1 horizontalement, + 2 verticalement. Méthode de tracé rapide : (1) je place l'ordonnée à l'origine (0 ; b) ; (2) à partir de là, j'utilise la pente a (+ 1 en x, + a en y) pour trouver un deuxième point ; (3) je trace la droite. Attention : b se lit sur l'axe VERTICAL (l'axe des y), pas sur l'axe des x.

Comprendre

Ce concept relie la fonction affine à sa droite. La représentation de f : x ↦ ax + b est une DROITE, mais décalée par rapport à l'origine. Deux lectures clés : (1) b est l'ORDONNÉE À L'ORIGINE, l'ordonnée du point (0 ; b) où la droite coupe l'axe des ordonnées (car f(0) = b) ; (2) a est le COEFFICIENT DIRECTEUR, la pente : + 1 en x → + a en y.

Exemple fil rouge : f : x ↦ 2x + 1. La droite coupe l'axe des y en (0 ; 1) (ordonnée à l'origine b = 1). Depuis ce point, la pente 2 donne le point (1 ; 3) — on visualise le petit triangle « + 1 en x, + 2 en y ». Méthode de tracé : placer (0 ; b), puis utiliser la pente pour un second point, puis tracer.

Points de vigilance : lire b sur l'axe VERTICAL (des ordonnées), pas horizontal ; ne pas confondre a (pente) et b (décalage) ; et pour une fonction linéaire b = 0, la droite repasse par l'origine (cohérence avec le concept 2). Cette lecture graphique prépare la détermination d'une fonction affine à partir de points.

Le cours

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION AFFINE. UNE DROITE. La représentation graphique d'une fonction affine f : x ↦ ax + b est une DROITE (comme pour une fonction linéaire), mais elle ne passe pas nécessairement par l'origine.

L'ORDONNÉE À L'ORIGINE b. Le nombre b est l'ORDONNÉE À L'ORIGINE : c'est l'ordonnée du point où la droite COUPE l'AXE DES ORDONNÉES (l'axe vertical). Ce point est (0 ; b), car f(0) = a × 0 + b = b.

LE COEFFICIENT DIRECTEUR a. Le nombre a est le COEFFICIENT DIRECTEUR, c'est-à-dire la PENTE de la droite : quand x augmente de 1, y augmente de a. EXEMPLE FIL ROUGE.

Soit f : x ↦ 2x + 1. La droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 1) : l'ordonnée à l'origine est b = 1. Sa pente est a = 2 : en partant de (0 ; 1) et en avançant de 1 en abscisse, on monte de 2, ce qui donne le point (1 ; 3). On peut représenter ce déplacement par un petit triangle rectangle : un pas de + 1 horizontalement, puis + 2 verticalement. MÉTHODE DE TRACÉ. (1) Placer l'ordonnée à l'origine, le point (0 ; b). (2) À partir de ce point, appliquer la pente a (avancer de 1 en x, monter de a en y) pour obtenir un second point. (3) Tracer la droite passant par ces deux points.

LIEN AVEC LE CAS LINÉAIRE. Si b = 0, l'ordonnée à l'origine est 0 : la droite repasse par l'origine, on retrouve la fonction linéaire. Points de vigilance. (1) b se lit sur l'axe des ORDONNÉES (vertical), pas sur l'axe des abscisses. (2) Ne pas confondre a (la pente) et b (le décalage vertical). (3) Vérifier avec un point calculé : f(1) = 2 × 1 + 1 = 3, cohérent avec (1 ; 3).

À retenir : fonction affine → droite ; b = ordonnée à l'origine (point (0 ; b)) ; a = coefficient directeur (+ 1 en x → + a en y) ; f : x ↦ 2x + 1 coupe l'axe des y en (0 ; 1).

Les erreurs fréquentes

On lit l'ordonnée à l'origine b sur l'axe des abscisses (horizontal) au lieu de l'axe des ordonnées (vertical).

b est l'ORDONNÉE À L'ORIGINE : elle se lit sur l'axe des ORDONNÉES (vertical), au point (0 ; b) où la droite le coupe. Pour f : x ↦ 2x + 1, ce point est (0 ; 1), sur l'axe des y.

On confond le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b (par exemple prendre b pour la pente).

a est la PENTE (+ 1 en x → + a en y) ; b est le DÉCALAGE vertical (le point (0 ; b)). Pour f : x ↦ 2x + 1, a = 2 (pente) et b = 1 (ordonnée à l'origine) : ce sont deux rôles différents.

On trace la droite d'une fonction affine en la faisant passer par l'origine.

Une droite affine passe par l'origine seulement si b = 0. Pour f : x ↦ 2x + 1, b = 1 : la droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 1), pas en (0 ; 0).

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître que la représentation d'une fonction affine est une droite.
• Lire l'ordonnée à l'origine b comme le point (0 ; b) où la droite coupe l'axe des ordonnées.
• Utiliser le coefficient directeur a comme pente (+ 1 en x → + a en y) pour trouver un second point.
• Sur f : x ↦ 2x + 1, placer (0 ; 1) et (1 ; 3) et tracer la droite.

Vérifie que tu as compris

1. Dans f : x ↦ ax + b, que représente b sur la droite ?

   Réponse l'ordonnée à l'origine (point (0 ; b) où la droite coupe l'axe des ordonnées)

   b est l'ordonnée à l'origine : le point (0 ; b) où la droite coupe l'axe des ordonnées, car f(0) = b. Le coefficient directeur a, lui, est la pente.

2. En quel point la droite de f : x ↦ 2x + 1 coupe-t-elle l'axe des ordonnées ?

   Réponse (0 ; 1)

   La droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b), avec b = 1 : c'est (0 ; 1), car f(0) = 2 × 0 + 1 = 1.

3. On a placé le point (0 ; 2) de la droite de f : x ↦ 3x + 2. Comment obtenir un deuxième point ?

   Réponse avancer de 1 et monter de 3

   Le coefficient directeur 3 est la pente : + 1 en x donne + 3 en y. Depuis (0 ; 2), on arrive donc en (1 ; 5), ce que confirme le calcul f(1) = 3 × 1 + 2 = 5.