Un programme de calcul

En une phrase

Un programme de calcul, c'est une suite d'instructions à appliquer à un nombre. Tu entres un nombre, tu suis les étapes une par une dans l'ordre, et tu obtiens un résultat : la sortie. Par exemple « ×2 puis +1 » transforme 3 en 6, puis 6 en 7.

Comprendre

Un programme de calcul fonctionne comme une machine : on lui donne un nombre en entrée, il applique des étapes dans l'ordre, et il renvoie un nombre en sortie. Prenons le programme « ×2 puis +1 ». On choisit une entrée, par exemple 3. Première étape, ×2 : 3 × 2 = 6. Deuxième étape, +1 : 6 + 1 = 7. La sortie est 7. On peut résumer le trajet : 3 → 6 → 7. Ce qui compte, c'est de suivre les étapes DANS L'ORDRE indiqué, sans en sauter et sans les intervertir.

Pour une autre entrée, on refait le même chemin : avec 5, on obtient 5 × 2 = 10, puis 10 + 1 = 11 ; la sortie est 11. Un programme de calcul est donc une fonction : à chaque entrée, il associe une seule sortie, toujours la même. Attention, l'ordre des étapes change le résultat. « ×2 puis +1 » n'est pas la même chose que « +1 puis ×2 ». Avec l'entrée 3 : « ×2 puis +1 » donne 6 puis 7 ; « +1 puis ×2 » donne 4 puis 8. On obtient 7 dans un cas, 8 dans l'autre : les étapes ne se rangent pas comme on veut.

Décrire une dépendance par un programme de calcul, c'est une troisième façon de dire la même chose qu'un tableau ou un graphique : on précise la règle qui fait passer de l'entrée à la sortie.

Le cours

Un programme de calcul est une suite d'instructions appliquées à un nombre d'entrée pour produire un nombre de sortie. On le voit comme une machine : entrée → étape 1 → étape 2 → sortie. Exemple : le programme « ×2 puis +1 ».

Pour l'entrée 3, on applique les étapes dans l'ordre : d'abord ×2, soit 3 × 2 = 6 ; puis +1, soit 6 + 1 = 7. La sortie est 7, ce que l'on note 3 → 6 → 7. Pour calculer la sortie associée à une autre entrée, on reprend le même trajet : pour 5, on a 5 × 2 = 10 puis 10 + 1 = 11, donc la sortie est 11. Un programme de calcul est une fonction : à chaque entrée correspond une seule sortie. Le mot « fonction » n'est ici qu'un raccourci pour cette dépendance ; en Cinquième, le programme demande seulement d'employer l'expression « en fonction de », et la fonction sera définie pour elle-même en Troisième. L'ordre des étapes est essentiel et ne peut pas être modifié. « ×2 puis +1 » et « +1 puis ×2 » ne donnent pas le même résultat : pour l'entrée 3, le premier donne 7, le second donne (3 + 1) × 2 = 8. Le programme de calcul est la troisième représentation d'une dépendance, à côté du tableau et du graphique : il donne explicitement la règle qui relie l'entrée à la sortie.

Les erreurs fréquentes

On applique une seule étape ou on inverse l'ordre : pour « ×2 puis +1 » sur 3, on répond 6 (on oublie le +1) ou 8 (on a fait +1 puis ×2).

On suit les deux étapes dans l'ordre : 3 × 2 = 6, puis 6 + 1 = 7. La sortie est 7.

On additionne d'abord parce que c'est plus simple : 3 + 1 = 4, puis 4 × 2 = 8.

L'ordre du programme est « ×2 puis +1 » : on multiplie d'abord (3 × 2 = 6) puis on ajoute 1 (= 7). Changer l'ordre change le résultat.

Tu maîtrises la notion si…

• Comprendre qu'un programme de calcul transforme une entrée en une sortie par des étapes ordonnées.
• Calculer la sortie d'un programme à deux étapes pour une entrée donnée (« ×2 puis +1 » : 3 → 6 → 7).
• Comprendre que l'ordre des étapes compte (« ×2 puis +1 » ≠ « +1 puis ×2 »).

Vérifie que tu as compris

1. Programme « ×2 puis +1 ». Pour l'entrée 3, quelle est la sortie ?

   Réponse 7

   On applique les étapes dans l'ordre : 3 × 2 = 6, puis 6 + 1 = 7. La sortie est 7 (trajet 3 → 6 → 7).

2. Programme « ×2 puis +1 ». Marion affirme que « +1 puis ×2 » donnerait le même résultat. A-t-elle raison ?

   Réponse Non : avec 3, on obtient 7 et 8

   Les deux programmes ne donnent pas la même sortie. « ×2 puis +1 » avec l'entrée 3 : 3 × 2 = 6 puis 6 + 1 = 7. « +1 puis ×2 » avec l'entrée 3 : 3 + 1 = 4 puis 4 × 2 = 8. L'ordre des étapes compte, exactement comme les priorités opératoires : 3 × 2 + 1 = 7 alors que (3 + 1) × 2 = 8.

3. Une machine multiplie par 3 le nombre qu'on lui donne, puis ajoute 4. Que sort-il si on entre 5 ?

   Réponse 19

   On suit les étapes dans l'ordre : 5 × 3 = 15, puis 15 + 4 = 19. Inverser l'ordre donnerait (5 + 4) × 3 = 27, s'arrêter à la première étape donnerait 15, et appliquer les priorités au lieu du programme donnerait 5 + 4 × 3 = 17.