Relier tableau, graphique et expression

En une phrase

Le tableau, le graphique et l'expression (le programme de calcul) racontent la même histoire : la même fonction. Le tableau range les entrées et les sorties, le graphique les montre en points, l'expression donne la règle (par exemple ×3). Savoir passer d'une représentation à l'autre, c'est comprendre la fonction en entier.

Comprendre

Une dépendance peut se présenter sous trois habits différents, mais c'est toujours la même fonction. Prenons l'article à 3 € l'unité, c'est-à-dire la règle ×3. Premier habit, le TABLEAU de valeurs : en haut l'entrée (1, 2, 3), en bas la sortie (3, 6, 9). Deuxième habit, le GRAPHIQUE : chaque colonne du tableau devient un point, ce qui donne (1 ; 3), (2 ; 6), (3 ; 9).

Troisième habit, l'EXPRESSION ou le programme de calcul : la règle ×3 (le prix, c'est le nombre d'articles multiplié par 3). Ces trois représentations disent exactement la même chose ; on peut donc passer de l'une à l'autre. À partir de l'EXPRESSION ×3, on retrouve le tableau (4 × 3 = 12, donc la colonne 4 → 12) et le graphique (le point (4 ; 12)).

À partir du TABLEAU, on lit la règle en observant qu'on multiplie toujours par 3, et on place les points. À partir du GRAPHIQUE, on lit les couples (x ; y) et on reconstruit le tableau. Le lien entre les trois est solide : un couple du tableau, un point du graphique et une valeur calculée par l'expression coïncident toujours.

Reconnaître qu'un tableau, un nuage de points et une règle décrivent la même fonction, et savoir traduire l'un dans l'autre, est l'aboutissement de l'introduction aux fonctions.

Le cours

Une même dépendance admet trois représentations équivalentes : le tableau de valeurs, le graphique et l'expression (ou programme de calcul). Elles décrivent la même fonction. Exemple avec la règle ×3 (article à 3 €).

Le tableau porte l'entrée en haut (1, 2, 3) et la sortie en bas (3, 6, 9). Le graphique traduit chaque colonne en un point : (1 ; 3), (2 ; 6), (3 ; 9). L'expression donne la règle : ×3. On passe librement de l'une à l'autre.

De l'expression ×3, on complète le tableau (pour l'entrée 4, 4 × 3 = 12) et on place le point (4 ; 12). Du tableau, on déduit la règle (on multiplie par 3) et on trace les points. Du graphique, on relit les couples (x ; y) pour reconstruire le tableau.

La cohérence est totale : un couple du tableau, un point du graphique et une valeur donnée par l'expression désignent le même élément de la fonction. Maîtriser ces allers-retours — tableau ↔ graphique ↔ expression — est l'objectif final : c'est comprendre qu'une dépendance est un seul objet, vu sous trois angles. On dit ici « fonction » par commodité ; en Cinquième, le programme demande d'employer l'expression « en fonction de », et le mot « fonction » sera défini pour lui-même, avec la notation f(x), en Troisième.

Les erreurs fréquentes

On croit que le tableau, le graphique et l'expression sont trois fonctions différentes.

Ce sont trois représentations de la MÊME fonction : chaque couple du tableau correspond à un point du graphique et à une valeur donnée par l'expression (×3).

En passant de l'expression au graphique, on invente des points qui ne respectent pas la règle (par exemple (4 ; 10) pour ×3).

On applique la règle : 4 × 3 = 12, donc le point est (4 ; 12). Tableau, graphique et expression doivent toujours coïncider.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître qu'un tableau, un graphique et une expression décrivent la même fonction.
• Passer de l'expression (×3) au tableau et au graphique (4 → 12 ; point (4 ; 12)).
• Vérifier la cohérence des trois représentations : un couple du tableau = un point du graphique = une valeur de l'expression.

Vérifie que tu as compris

1. Un tableau (1, 2, 3 → 3, 6, 9), un graphique (points (1 ; 3), (2 ; 6), (3 ; 9)) et l'étiquette « ×3 » décrivent…

   Réponse La même fonction, vue de trois façons

   Chaque couple du tableau est un point du graphique et l'expression ×3 redonne ces valeurs (2 × 3 = 6…). C'est la même fonction, présentée de trois façons.

2. La règle est « ×3 ». Pour l'entrée 4, quel point placer sur le graphique ?

   Réponse (4 ; 12)

   On applique la règle : 4 × 3 = 12. Le tableau donne 4 → 12 et le graphique le point (4 ; 12) (abscisse d'abord, puis ordonnée).

3. Deux points d'un graphique sont (3 ; 12) et (5 ; 20). Quelle règle relie l'entrée à la sortie ?

   Réponse × 4

   Les deux points donnent 3 → 12 et 5 → 20 : dans les deux cas, on multiplie par 4. La règle « + 9 » conviendrait au premier point (3 + 9 = 12) mais pas au second (5 + 9 = 14, et non 20) : une règle doit marcher pour tous les points.