La dépendance : « en fonction de »

En une phrase

Deux grandeurs sont souvent liées : dès que tu choisis l'une (l'entrée), l'autre est déterminée (la sortie). Par exemple, le prix à payer dépend du nombre d'articles : c'est le prix « en fonction du » nombre d'articles. Tu donnes un nombre d'articles, la règle te renvoie un prix.

Comprendre

Dans la vie de tous les jours, beaucoup de grandeurs sont reliées entre elles. Le prix à payer dépend du nombre d'articles achetés ; la distance parcourue dépend du temps de marche ; l'aire d'un carré dépend de la longueur de son côté. Dans chaque cas, une grandeur en commande une autre.

La grandeur que tu choisis librement s'appelle l'entrée ; celle qui en découle s'appelle la sortie. Prends un cahier à 3 € l'unité. Le prix dépend du nombre de cahiers : si tu en prends 4, le prix est 4 × 3 = 12 €.

Ici l'entrée est le nombre de cahiers (4), la sortie est le prix (12 €). On lit ce lien en disant « le prix EN FONCTION DU nombre de cahiers ». L'ordre compte : le prix dépend du nombre de cahiers, mais on ne dirait pas que le nombre de cahiers dépend de sa couleur — la couleur ne change pas le prix.

Une même entrée donne toujours la même sortie : 4 cahiers, c'est toujours 12 €. C'est cette idée de dépendance, entrée → sortie, qui est le point de départ des fonctions : une machine qui, à chaque entrée, associe une seule sortie.

Le cours

On dit qu'une grandeur dépend d'une autre lorsque sa valeur est entièrement déterminée dès que l'on connaît la valeur de l'autre. La grandeur que l'on choisit est appelée l'entrée (ou la variable) ; celle qui en résulte est appelée la sortie. On décrit ce lien par l'expression « … en fonction de … ».

Exemple : un article coûte 3 €. Le prix total dépend du nombre d'articles : c'est le prix en fonction du nombre d'articles. Pour 4 articles, l'entrée est 4 et la sortie (le prix) est 4 × 3 = 12 €.

Deux idées sont essentielles. D'abord, à chaque entrée correspond une seule sortie : pour 4 articles, le prix vaut toujours 12 €, jamais deux valeurs différentes. Ensuite, le lien a un sens : c'est le prix qui dépend du nombre d'articles, pas l'inverse ; il faut repérer laquelle des deux grandeurs commande l'autre.

On rencontre partout ce type de dépendance : la distance parcourue en fonction du temps, l'aire d'un carré en fonction de son côté, la température en fonction de l'heure. Reconnaître l'entrée et la sortie d'une situation est le premier pas vers la notion de fonction, que l'on organisera ensuite dans un tableau, sur un graphique ou avec un programme de calcul.

Les erreurs fréquentes

On confond l'entrée et la sortie : on dit que le nombre d'articles dépend du prix.

C'est le prix qui dépend du nombre d'articles : on choisit d'abord combien d'articles (l'entrée), et le prix (la sortie) en découle. Le lien va de l'entrée vers la sortie.

On pense que la sortie dépend de tout : on croit que le prix dépend de la couleur de l'article.

Seule la grandeur qui fait vraiment varier la sortie est l'entrée. Ici le prix dépend du nombre d'articles ; la couleur ne change pas le prix.

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer, dans une situation, la grandeur d'entrée (celle qu'on choisit) et la grandeur de sortie (celle qui en découle).
• Formuler une dépendance avec l'expression « … en fonction de … » (ex. le prix en fonction du nombre d'articles).
• Comprendre qu'à une même entrée correspond une seule sortie (4 articles → 12 € à 3 € l'article).

Vérifie que tu as compris

1. Un cahier coûte 3 €. Le prix total à payer dépend de quoi ?

   Réponse Du nombre de cahiers achetés

   Le prix total dépend du nombre de cahiers : c'est le prix « en fonction du » nombre de cahiers. Le nombre de cahiers est l'entrée, le prix la sortie.

2. Un article coûte 3 € l'unité. Quel est le prix (la sortie) pour une entrée de 4 articles ?

   Réponse 12 €

   L'entrée est 4 (le nombre d'articles) ; la sortie est le prix : 4 × 3 = 12 €. C'est le prix en fonction du nombre d'articles.

3. Un marcheur avance à allure régulière : la distance qu'il a parcourue dépend du temps de marche. Quelle grandeur est l'entrée ?

   Réponse Le temps de marche

   On choisit d'abord la durée de marche : c'est l'entrée. La distance parcourue en découle : c'est la sortie. On dit que la distance est donnée « en fonction du » temps de marche.