Tester une égalité, traduire un programme

En une phrase

Un programme de calcul (« choisis x, ajoute 3, multiplie par 2 ») se traduit en une expression : 2(x + 3). Pour tester si deux expressions sont égales, on remplace x par un nombre des deux côtés et on compare les résultats.

Comprendre

Le calcul littéral permet de décrire, en une seule expression, un programme de calcul, c'est-à-dire une suite d'instructions appliquée à un nombre de départ. Prenons : « choisis un nombre x, ajoute 3, multiplie le résultat par 2 ». On traduit pas à pas : au départ x ; « ajoute 3 » donne x + 3 ; « multiplie par 2 » porte sur tout le résultat précédent, donc sur (x + 3) : on écrit 2 × (x + 3) = 2(x + 3).

Les parenthèses sont indispensables, car c'est toute la somme qui est multipliée par 2. Une fois cette expression écrite, on peut la tester ou la comparer à une autre. Tester une égalité, c'est vérifier si deux expressions donnent le même résultat pour une valeur donnée de la lettre. Par exemple, l'égalité 2(x + 3) = 2x + 6 : pour x = 5, le membre de gauche vaut 2 × (5 + 3) = 2 × 8 = 16, et le membre de droite vaut 2 × 5 + 6 = 10 + 6 = 16. Les deux valent 16 : l'égalité est vérifiée pour x = 5 (et elle est d'ailleurs toujours vraie, car 2x + 6 est le développement de 2(x + 3)).

Attention : tester une égalité pour une valeur peut aussi montrer qu'elle est FAUSSE. Pour 3(x + 1) = 3x + 1 et x = 2, la gauche vaut 3 × 3 = 9 et la droite 6 + 1 = 7 : comme 9 ≠ 7, l'égalité est fausse. Traduire un programme et tester une égalité sont deux façons de relier le langage, le calcul et les lettres, et préparent la mise en équation.

Le cours

Un programme de calcul est une suite d'instructions appliquée à un nombre choisi au départ. Le calcul littéral permet de le résumer par une seule expression, en notant x le nombre de départ et en traduisant chaque instruction. Exemple : « choisis x, ajoute 3, multiplie par 2 ».

On écrit successivement x, puis x + 3, puis 2 × (x + 3) : la multiplication par 2 porte sur toute la somme, d'où les parenthèses. L'expression du programme est donc 2(x + 3). On peut ensuite s'en servir de deux façons.

D'abord, calculer le résultat pour un nombre choisi : pour x = 5, 2(5 + 3) = 2 × 8 = 16. Ensuite, tester une égalité : deux expressions sont-elles égales pour une valeur donnée ? On calcule chaque membre séparément et on compare. Pour 2(x + 3) = 2x + 6 avec x = 5 : membre de gauche 2 × (5 + 3) = 16, membre de droite 2 × 5 + 6 = 16 ; les deux sont égaux, l'égalité est vérifiée pour x = 5 (ici elle est même toujours vraie, car développer 2(x + 3) donne 2x + 6).

Tester peut aussi réfuter une égalité : pour 3(x + 1) = 3x + 1 et x = 2, la gauche vaut 9 et la droite 7 ; comme 9 ≠ 7, l'égalité est fausse (le bon développement serait 3x + 3). Une remarque importante : trouver une valeur qui « marche » ne prouve pas qu'une égalité est toujours vraie ; en revanche, une seule valeur qui ne marche pas suffit à prouver qu'elle est fausse. Traduire et tester relient la langue, le calcul numérique et le calcul littéral : c'est la première marche vers les équations.

Les erreurs fréquentes

On oublie les parenthèses en traduisant : « ajoute 3 puis multiplie par 2 » écrit 2x + 3 ou x + 3 × 2.

La multiplication porte sur toute la somme : 2 × (x + 3) = 2(x + 3).

Pour tester une égalité, on ne remplace la lettre que d'un seul côté, ou on croit qu'une valeur qui marche prouve l'égalité pour toujours.

On remplace la lettre des DEUX côtés et on compare ; une seule valeur qui ne marche pas suffit à prouver qu'une égalité est fausse.

Tu maîtrises la notion si…

• Traduire « choisis x, ajoute 3, multiplie par 2 » par 2(x + 3), avec les parenthèses.
• Tester l'égalité 2(x + 3) = 2x + 6 pour x = 5 en calculant chaque membre (16 = 16).
• Montrer qu'une égalité est fausse en trouvant une valeur qui ne la vérifie pas (ex. 3(x + 1) = 3x + 1 pour x = 2).

Vérifie que tu as compris

1. Quelle expression traduit « choisis un nombre x, ajoute 3, multiplie par 2 » ?

   Réponse 2(x + 3)

   On ajoute 3 (x + 3), puis on multiplie toute la somme par 2 : 2 × (x + 3) = 2(x + 3).

2. L'égalité 3(x + 1) = 3x + 1 est-elle vraie pour x = 2 ?

   Réponse Non : 9 ≠ 7

   Pour x = 2 : 3(2 + 1) = 3 × 3 = 9 et 3 × 2 + 1 = 7. Comme 9 ≠ 7, l'égalité est fausse (le bon développement est 3x + 3).

3. Programme de calcul : on multiplie le nombre de départ x par 5, puis on enlève 2. Quelle expression obtient-on ?

   Réponse 5x − 2

   On part de x, « multiplie par 5 » donne 5x, puis « enlève 2 » donne 5x − 2. Aucune parenthèse n'est nécessaire ici : 5(x − 2) traduirait l'ordre inverse, enlever 2 d'abord puis multiplier toute la différence par 5.