Développer avec la distributivité

En une phrase

Développer 3(x + 2), c'est multiplier 3 par chacun des termes de la parenthèse : 3 × x et 3 × 2. On obtient 3x + 6. Il ne faut oublier aucun terme.

Comprendre

Une expression comme 3(x + 2) signifie 3 × (x + 2). Pour la développer, c'est-à-dire l'écrire sans parenthèses, on utilise la distributivité : le facteur devant la parenthèse multiplie CHAQUE terme situé à l'intérieur. Ainsi 3(x + 2) = 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6. Le mot-clé est « chaque » : il ne faut oublier aucun terme.

L'erreur la plus fréquente est de ne multiplier que le premier terme et d'écrire 3x + 2 : c'est faux, car le 2 doit lui aussi être multiplié par 3. On peut visualiser la règle avec l'aire d'un rectangle. Un rectangle de hauteur 3 et de largeur (x + 2) a pour aire 3 × (x + 2). Mais on peut le partager en deux : un rectangle 3 par x, d'aire 3x, et un rectangle 3 par 2, d'aire 6. L'aire totale est donc 3x + 6 : c'est exactement le développement.

La distributivité fonctionne aussi avec une soustraction : 5(2x − 1) = 5 × 2x − 5 × 1 = 10x − 5. Développer sert à transformer une expression pour la calculer plus facilement, la réduire ou la comparer à une autre. C'est une opération fondamentale que l'on retrouvera pour les identités remarquables et la résolution d'équations.

Le cours

La distributivité de la multiplication sur l'addition (et la soustraction) s'écrit : k(a + b) = k × a + k × b, et de même k(a − b) = k × a − k × b. Développer une expression, c'est appliquer cette règle pour supprimer les parenthèses : le facteur k, placé devant la parenthèse, multiplie chaque terme situé à l'intérieur. Exemple : 3(x + 2).

On multiplie 3 par x, puis 3 par 2 : 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6. Il est essentiel de multiplier TOUS les termes ; oublier le second (et écrire 3x + 2) est l'erreur classique. Interprétation par les aires : un rectangle de hauteur 3 et de largeur (x + 2) se découpe en un rectangle 3 sur x (aire 3x) et un rectangle 3 sur 2 (aire 6) ; l'aire totale 3(x + 2) vaut donc 3x + 6. Avec une soustraction : 5(2x − 1) = 5 × 2x − 5 × 1 = 10x − 5 (attention à multiplier aussi le 1 par 5, et à garder le signe −). On peut toujours vérifier un développement en donnant une valeur à la lettre : pour x = 4, 3(x + 2) = 3 × 6 = 18 et 3x + 6 = 12 + 6 = 18 : les deux écritures coïncident, ce qui confirme le développement.

Développer est l'opération inverse de FACTORISER : factoriser, c'est repérer un facteur commun à tous les termes et l'écrire devant une parenthèse, en lisant l'égalité k × a + k × b = k(a + b) de la droite vers la gauche. Exemple : dans 6x + 15, les deux termes sont des multiples de 3 (6x = 3 × 2x et 15 = 3 × 5), donc 6x + 15 = 3(2x + 5) ; on vérifie en développant : 3(2x + 5) = 6x + 15. Autre exemple : 4a + 4b = 4(a + b). Développer transforme un produit en somme, factoriser transforme une somme en produit — les deux seront très utilisées dans les classes suivantes.

Les erreurs fréquentes

On ne multiplie que le premier terme : 3(x + 2) = 3x + 2.

Le facteur multiplie CHAQUE terme : 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6.

On oublie de multiplier le nombre après le signe − : 5(2x − 1) = 10x − 1.

On multiplie aussi le 1 par 5 : 5 × 2x − 5 × 1 = 10x − 5.

Tu maîtrises la notion si…

• Développer 3(x + 2) en multipliant chaque terme par 3 : 3x + 6.
• Développer une expression avec une soustraction, comme 5(2x − 1) = 10x − 5.
• Relier la distributivité k(a + b) = k × a + k × b à l'aire d'un rectangle partagé en deux.

Vérifie que tu as compris

1. Développe 3(x + 2).

   Réponse 3x + 6

   On multiplie chaque terme par 3 : 3 × x = 3x et 3 × 2 = 6, donc 3(x + 2) = 3x + 6.

2. Développe 5(2x − 1).

   Réponse 10x − 5

   5 × 2x = 10x et 5 × 1 = 5, donc 5(2x − 1) = 10x − 5 (on multiplie aussi le 1 par 5).

3. Un rectangle a pour hauteur 4 et pour largeur x + 3. Quelle est son aire, sous forme développée ?

   Réponse 4x + 12

   L'aire est 4(x + 3) = 4 × x + 4 × 3 = 4x + 12. On peut la voir comme deux rectangles côte à côte : 4 par x (aire 4x) et 4 par 3 (aire 12). Écrire 4x + 3 revient à oublier de multiplier le 3.