Réduire une expression

En une phrase

Réduire, c'est simplifier une expression en additionnant les termes qui ont la même lettre. 3a + 2a = 5a. Un nombre seul (sans lettre) ne peut pas se regrouper avec un terme en lettre.

Comprendre

Dans une expression comme 3a + 2a, les deux termes ont la même lettre a : on dit qu'ils sont semblables. On peut alors les regrouper. Comme 3a signifie « 3 fois a » et 2a « 2 fois a », leur somme fait « 5 fois a », soit 5a.

On additionne donc les nombres placés devant la lettre (les coefficients) et on garde la lettre : 3a + 2a = 5a. Réduire, c'est faire cela partout où c'est possible pour raccourcir l'expression. Il faut bien distinguer les termes : dans 4a + 3 + 2a, les termes 4a et 2a sont semblables (même lettre a), mais 3 est un nombre seul, sans lettre.

On regroupe donc les « a » : 4a + 2a = 6a, et le 3 reste seul. L'expression réduite est 6a + 3. On ne peut PAS aller plus loin : 6a et 3 ne sont pas semblables (l'un a une lettre, l'autre non), donc 6a + 3 n'est pas égal à 9a. C'est l'erreur la plus fréquente : additionner un terme en lettre et un nombre.

Autre point de vigilance : seuls des termes ayant exactement la même lettre se regroupent ; 3a et 3b ne se regroupent pas. Réduire rend les expressions plus simples à lire et à calculer, et prépare la résolution des équations.

Le cours

Réduire une expression littérale, c'est l'écrire avec le moins de termes possible en regroupant les termes semblables. Deux termes sont semblables lorsqu'ils ont la même partie littérale (la même lettre) : 3a et 2a sont semblables, 4a et 2a aussi ; en revanche 3a et 3b ne le sont pas, et un nombre seul (comme 3) n'est semblable à aucun terme en lettre. Pour regrouper des termes semblables, on additionne (ou soustrait) les coefficients — les nombres placés devant la lettre — et on conserve la lettre.

Exemple simple : 3a + 2a = (3 + 2)a = 5a. Exemple avec un nombre : 4a + 3 + 2a. On regroupe les termes en a : 4a + 2a = 6a ; le nombre 3 reste seul.

L'expression réduite est 6a + 3. On s'arrête là : 6a et 3 ne sont pas semblables, on ne peut pas les additionner, donc 6a + 3 n'est pas 9a. Autre exemple : 5x + 2 + 3x + 4 = (5x + 3x) + (2 + 4) = 8x + 6. La méthode fiable consiste à repérer d'abord tous les termes qui portent la même lettre, à les additionner, puis à traiter à part les nombres seuls. Réduire une expression ne change jamais sa valeur : pour n'importe quelle valeur de la lettre, l'expression réduite et l'expression de départ donnent le même résultat.

Cette technique est indispensable pour simplifier les calculs et, plus tard, résoudre des équations.

Les erreurs fréquentes

On additionne un terme en lettre et un nombre : 6a + 3 = 9a.

6a et 3 ne sont pas semblables (l'un a une lettre, l'autre non) : on ne peut pas les regrouper, l'expression réduite reste 6a + 3.

On regroupe des lettres différentes : 3a + 3b = 6ab ou 6a.

3a et 3b n'ont pas la même lettre : ils ne sont pas semblables, on garde 3a + 3b.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître des termes semblables (même lettre) et les regrouper : 3a + 2a = 5a.
• Réduire 4a + 3 + 2a en 6a + 3 et expliquer pourquoi on ne peut pas écrire 9a.
• Réduire une expression à plusieurs termes comme 5x + 2 + 3x + 4 = 8x + 6.

Vérifie que tu as compris

1. Réduis 3a + 2a.

   Réponse 5a

   3a et 2a sont semblables (même lettre a) : 3 + 2 = 5, on garde la lettre → 5a.

2. Réduis 4a + 3 + 2a.

   Réponse 6a + 3

   On regroupe les termes en a : 4a + 2a = 6a ; le 3 n'a pas de lettre, il reste seul → 6a + 3.

3. Quelle expression est déjà réduite au maximum ?

   Réponse 6a + 3

   6a et 3 ne sont pas des termes semblables (l'un a une lettre, l'autre non) : on ne peut pas les regrouper. Les autres se réduisent : 4a + 2a = 6a, 5x + 3x = 8x et 2b + 7 + 3b = 5b + 7.