Réduire une expression littérale

En une phrase

Réduire, c'est simplifier une expression en additionnant entre eux les termes qui se ressemblent : les « x » avec les « x », les nombres avec les nombres. Par exemple 3x + 5 + 2x − 1 = 5x + 4. On peut d'abord développer puis réduire : 2(x + 3) + 3(x − 1) = 2x + 6 + 3x − 3 = 5x + 3.

Comprendre

Réduire une expression, c'est la rendre la plus courte possible en regroupant les termes semblables. Deux termes sont semblables s'ils ont la même partie littérale : 3x et 2x sont semblables (ce sont des « x »), 5 et −1 sont semblables (ce sont des constantes). On additionne alors leurs coefficients : 3x + 2x = 5x et 5 − 1 = 4, donc 3x + 5 + 2x − 1 = 5x + 4. En revanche, on ne peut PAS additionner 5x et 4 : ces termes ne sont pas semblables, car l'un contient un x et l'autre non ; le résultat reste 5x + 4, et non 9x ou 9. Une méthode sûre consiste à colorier ou souligner d'une même couleur tous les termes en x, puis d'une autre couleur toutes les constantes, avant de les regrouper.

Très souvent, réduire vient après développer : pour 2(x + 3) + 3(x − 1), on développe d'abord chaque produit — 2x + 6 puis 3x − 3 — puis on regroupe 2x + 3x = 5x et 6 − 3 = 3, ce qui donne 5x + 3. Attention aux signes des constantes. Réduire est indispensable pour écrire un résultat propre, comparer des expressions et préparer la résolution d'équations.

Le cours

Réduire une expression littérale consiste à regrouper les termes semblables pour l'écrire sous sa forme la plus simple. Deux termes sont dits semblables lorsqu'ils ont la même partie littérale : 3x et 2x sont semblables, tout comme les constantes 5 et −1. Pour réduire, on additionne les coefficients des termes en x d'un côté et les constantes de l'autre. Ainsi 3x + 5 + 2x − 1 : on regroupe 3x + 2x = 5x et 5 − 1 = 4, ce qui donne 5x + 4. Il est essentiel de comprendre qu'on ne peut pas mélanger des termes non semblables : 5x + 4 ne se réduit pas en 9x ni en 9, car un terme contient la lettre x et l'autre non.

Pour éviter les erreurs, on peut marquer d'une même couleur tous les termes en x, d'une autre couleur les constantes, puis effectuer chaque regroupement séparément, en surveillant les signes. Réduire intervient très souvent après un développement : pour 2(x + 3) + 3(x − 1), on développe d'abord 2(x + 3) = 2x + 6 et 3(x − 1) = 3x − 3, ce qui donne 2x + 6 + 3x − 3 ; on regroupe ensuite 2x + 3x = 5x et 6 − 3 = 3, d'où le résultat réduit 5x + 3. La réduction permet de présenter un résultat clair, de comparer deux expressions et constitue une étape clé avant la mise en équation.

Les erreurs fréquentes

On additionne des termes non semblables : 3x + 5 + 2x − 1 = 9x, ou 5x + 4 = 9.

On ne regroupe que les termes semblables : 3x + 2x = 5x et 5 − 1 = 4, donc le résultat est 5x + 4 (on ne mélange pas les x et les nombres).

On se trompe de signe en regroupant les constantes : 3x + 5 + 2x − 1 = 5x + 6.

Il faut tenir compte du signe : 5 − 1 = 4, donc 3x + 5 + 2x − 1 = 5x + 4.

Tu maîtrises la notion si…

• Identifier les termes semblables (les x d'un côté, les constantes de l'autre).
• Réduire une expression en regroupant (3x + 5 + 2x − 1 = 5x + 4).
• Développer puis réduire (2(x + 3) + 3(x − 1) = 5x + 3).

Vérifie que tu as compris

1. Réduis 3x + 5 + 2x − 1.

   Réponse 5x + 4

   On regroupe les termes semblables : les termes en x (3x + 2x = 5x) et les constantes (5 − 1 = 4), d'où 5x + 4. On n'additionne pas 5x et 4 : ce ne sont pas des termes semblables.

2. Développe et réduis 2(x + 3) + 3(x − 1).

   Réponse 5x + 3

   On développe d'abord : 2(x + 3) = 2x + 6 et 3(x − 1) = 3x − 3. On regroupe : 2x + 3x = 5x et 6 − 3 = 3, d'où 5x + 3.

3. Combien de termes reste-t-il après réduction de 4x + 9 − x + 2 ?

   Réponse 2

   On regroupe les termes semblables : 4x − x = 3x et 9 + 2 = 11. Il reste donc deux termes, 3x + 11. On ne peut pas aller plus loin, car 3x et 11 n'ont pas la même partie littérale.