Factoriser avec un facteur commun — 4ᵉ

En une phrase

Factoriser, c'est faire apparaître des parenthèses en repérant le nombre (ou la lettre) présent dans chaque terme, le facteur commun. Par exemple 3x + 12 = 3(x + 4), car 3 est en facteur dans 3x et dans 12. De même 6x + 9 = 3(2x + 3) et ax + a = a(x + 1).

Comprendre

Factoriser est l'opération inverse de développer : au lieu de transformer un produit en somme, on transforme une somme en produit. Le point clé est de repérer le facteur commun, c'est-à-dire le nombre ou la lettre qui apparaît dans CHAQUE terme. On l'écrit devant une parenthèse, et à l'intérieur on met ce qu'il reste dans chaque terme.

Par exemple, dans 3x + 12, le nombre 3 divise 3x (= 3 × x) et 12 (= 3 × 4) : 3 est facteur commun, donc 3x + 12 = 3(x + 4). Pour bien factoriser, on cherche le PLUS GRAND facteur commun : dans 6x + 9, on peut sortir 3 (car 6 = 3 × 2 et 9 = 3 × 3), ce qui donne 6x + 9 = 3(2x + 3). Le facteur commun peut aussi être une lettre : dans ax + a, le a est présent dans les deux termes (a = a × 1), d'où ax + a = a(x + 1) ; oublier le « 1 » est une erreur fréquente.

On vérifie toujours une factorisation en développant le résultat : 3(x + 4) redonne bien 3x + 12. Factoriser sert à simplifier, à résoudre des équations et à mettre une expression sous forme de produit, ce qui prépare le travail des classes suivantes.

Le cours

Factoriser une expression, c'est écrire une somme sous la forme d'un produit en mettant en facteur un terme commun. C'est exactement l'opération inverse du développement : là où développer transforme k(a + b) en ka + kb, factoriser transforme ka + kb en k(a + b). La propriété est la même, lue dans l'autre sens : ka + kb = k(a + b).

La démarche consiste à repérer le facteur commun, présent dans chaque terme de la somme. Dans 3x + 12, le facteur 3 est commun car 3x = 3 × x et 12 = 3 × 4 ; on écrit alors 3x + 12 = 3(x + 4). Pour factoriser complètement, on choisit le plus grand facteur commun : dans 6x + 9, le plus grand nombre qui divise à la fois 6 et 9 est 3, et comme 6x = 3 × 2x et 9 = 3 × 3, on obtient 6x + 9 = 3(2x + 3).

Le facteur commun peut être une lettre : dans ax + a, chaque terme contient a (avec a = a × 1), donc ax + a = a(x + 1) ; l'erreur classique est d'oublier le 1 et d'écrire a(x). On contrôle toujours une factorisation en développant : 3(2x + 3) redonne 6x + 9. Factoriser permet de simplifier des expressions, de préparer la résolution d'équations produit et complète la maîtrise de la distributivité, dans les deux sens.

Les erreurs fréquentes

On factorise avec un facteur qui n'est pas commun à tous les termes : 6x + 9 = 6(x + 9).

Le facteur doit diviser chaque terme : le facteur commun de 6 et 9 est 3, donc 6x + 9 = 3(2x + 3).

Quand un terme EST le facteur commun, on l'oublie : ax + a = a(x) ou ax + a = a·x.

Il reste un 1 : a = a × 1, donc ax + a = a(x + 1). On vérifie en développant : a(x + 1) = ax + a.

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer le facteur commun à tous les termes d'une somme.
• Factoriser en écrivant k(a + b) et vérifier en développant (3x + 12 = 3(x + 4)).
• Ne pas oublier le 1 lorsqu'un terme est le facteur commun (ax + a = a(x + 1)).

Vérifie que tu as compris

1. Factorise 3x + 12.

   Réponse 3(x + 4)

   Le facteur commun est 3 : 3x = 3 × x et 12 = 3 × 4, donc 3x + 12 = 3(x + 4). On vérifie en développant : 3(x + 4) = 3x + 12.

2. Factorise 6x + 9.

   Réponse 3(2x + 3)

   Le plus grand facteur commun de 6 et 9 est 3 : 6x = 3 × 2x et 9 = 3 × 3, donc 6x + 9 = 3(2x + 3). En développant : 3(2x + 3) = 6x + 9.

3. Factorisée, l'expression 10x + 25 s'écrit :

   Réponse 5(2x + 5)

   Le plus grand facteur commun de 10 et 25 est 5 : 10x = 5 × 2x et 25 = 5 × 5, donc 10x + 25 = 5(2x + 5). On vérifie en développant : 5 × 2x + 5 × 5 = 10x + 25.