Programme de calcul et preuve d'une égalité

En une phrase

Un programme de calcul est une suite d'instructions à partir d'un nombre x. On le traduit en expression : « choisis x, ajoute 3, multiplie par 2 » donne 2(x + 3). Pour prouver que deux expressions sont toujours égales, on développe : 2(x + 3) = 2x + 6, donc 2(x + 3) = 2x + 6 pour n'importe quel x.

Comprendre

Un programme de calcul décrit, étape par étape, ce qu'on fait subir à un nombre de départ appelé x. Le traduire en expression littérale, c'est écrire en une seule formule l'effet de toutes les étapes. Prenons « Choisis un nombre x, ajoute 3, puis multiplie le tout par 2 ».

On ajoute d'abord 3, ce qui donne x + 3 ; on multiplie ensuite ce résultat ENTIER par 2, d'où 2(x + 3). Les parenthèses sont indispensables : sans elles, 2x + 3 ne multiplierait que x par 2, ce qui ne traduit pas le programme. Le calcul littéral devient alors un outil de PREUVE.

Pour montrer que deux programmes donnent toujours le même résultat, il ne suffit pas de tester un nombre (un exemple ne prouve rien) : on développe et on réduit les expressions. Ici, 2(x + 3) = 2 × x + 2 × 3 = 2x + 6 : comme le développement donne exactement 2x + 6, on a prouvé que 2(x + 3) = 2x + 6 pour TOUTE valeur de x. C'est la force de la lettre : elle représente n'importe quel nombre à la fois.

On utilise la même méthode pour prouver qu'un programme donne toujours, par exemple, un résultat pair, ou que deux expressions apparemment différentes sont en réalité égales.

Le cours

Un programme de calcul est une suite d'instructions appliquées à un nombre de départ, désigné par une lettre, souvent x. Traduire ce programme en expression littérale, c'est résumer toutes les étapes en une seule écriture algébrique. Par exemple, le programme « Choisis un nombre x, ajoute 3, puis multiplie le tout par 2 » se traduit ainsi : après « ajoute 3 », on a x + 3 ; puis « multiplie le tout par 2 » multiplie ce résultat entier, d'où 2(x + 3).

Les parenthèses sont essentielles : écrire 2x + 3 signifierait qu'on multiplie seulement x par 2, ce qui ne correspond pas au programme. Le calcul littéral permet ensuite de PROUVER des égalités. Vérifier une égalité sur un ou deux nombres ne prouve rien : un exemple qui marche n'assure pas que l'égalité est toujours vraie.

La preuve consiste à développer et réduire les expressions pour montrer qu'elles s'écrivent de la même façon. Ainsi, pour prouver que 2(x + 3) = 2x + 6, on développe le membre de gauche : 2(x + 3) = 2 × x + 2 × 3 = 2x + 6. Les deux membres sont identiques, donc l'égalité est vraie pour toute valeur de x. Cette démarche — traduire, développer, réduire, comparer — sert à démontrer que deux programmes de calcul donnent toujours le même résultat, à établir des propriétés (par exemple qu'un résultat est toujours pair) et fait du calcul littéral un véritable outil de raisonnement.

Les erreurs fréquentes

On traduit « ajoute 3 puis multiplie par 2 » par 2x + 3 (sans parenthèses).

On multiplie le résultat ENTIER par 2 : c'est 2(x + 3). Écrire 2x + 3 ne multiplierait que x par 2.

On « prouve » une égalité en la vérifiant sur un seul nombre (par exemple x = 1).

Un exemple ne prouve rien : il faut développer et réduire. 2(x + 3) = 2x + 6 étant vrai après développement, l'égalité vaut pour tout x.

Tu maîtrises la notion si…

• Traduire un programme de calcul en expression littérale avec les bonnes parenthèses (« x, +3, ×2 » → 2(x + 3)).
• Développer et réduire l'expression obtenue.
• Prouver une égalité par le calcul littéral, et non par un exemple (2(x + 3) = 2x + 6).

Vérifie que tu as compris

1. Programme : « Choisis un nombre x, ajoute 3, puis multiplie le tout par 2. » Quelle expression traduit ce programme ?

   Réponse 2(x + 3)

   On ajoute d'abord 3 (x + 3), puis on multiplie le résultat entier par 2 : 2(x + 3). Les parenthèses sont indispensables, sinon on ne multiplierait que x par 2 (2x + 3).

2. Pour prouver que 2(x + 3) = 2x + 6, on développe 2(x + 3). Que vaut le développement ?

   Réponse 2x + 6

   2(x + 3) = 2 × x + 2 × 3 = 2x + 6. Comme le développement donne exactement 2x + 6, l'égalité 2(x + 3) = 2x + 6 est prouvée pour toute valeur de x.

3. Programme : « Choisis un nombre, multiplie-le par 5, puis retire 4. » Pour le nombre 6, quel résultat obtient-on ?

   Réponse 26

   On suit le programme dans l'ordre : 5 × 6 = 30, puis 30 − 4 = 26. Traduit en expression littérale, ce programme s'écrit 5x − 4. Retirer 4 avant de multiplier donnerait (6 − 4) × 5 = 10, un résultat différent.