Développer avec la double distributivité

En une phrase

Pour développer (a + b)(c + d), on forme les QUATRE produits possibles : ac, ad, bc, bd. Par exemple (x + 2)(x + 3) = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Avec une soustraction, on soigne les signes : (x + 1)(x − 4) = x² − 4x + x − 4 = x² − 3x − 4.

Comprendre

Quand on multiplie deux sommes entre elles, un seul facteur ne suffit plus : chaque terme de la première parenthèse doit multiplier chaque terme de la seconde. C'est la double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. On obtient QUATRE produits, qu'il faut tous écrire avant de réduire.

Prenons (x + 2)(x + 3). On multiplie x par x (= x²), x par 3 (= 3x), 2 par x (= 2x), 2 par 3 (= 6). On obtient x² + 3x + 2x + 6, puis on réduit les termes semblables 3x + 2x = 5x : (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6. L'erreur la plus courante est d'oublier les produits « croisés » et d'écrire seulement x² + 6. Le signe demande de la vigilance dès qu'apparaît une soustraction : dans (x + 1)(x − 4), on a x × x = x², x × (−4) = −4x, 1 × x = x, 1 × (−4) = −4, soit x² − 4x + x − 4 ; on réduit −4x + x = −3x, d'où x² − 3x − 4. Une bonne méthode consiste à tracer une flèche vers chacun des quatre produits pour n'en oublier aucun.

La double distributivité prolonge la simple distributivité et permet de développer toutes les expressions du type produit de deux sommes.

Le cours

La double distributivité sert à développer le produit de deux sommes. Alors que la simple distributivité fait multiplier un facteur unique par les termes d'une parenthèse, ici chaque terme de la première parenthèse doit multiplier chaque terme de la seconde. La règle est : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Le développement produit donc quatre termes, correspondant aux quatre produits possibles. Exemple avec (x + 2)(x + 3) : x × x = x², x × 3 = 3x, 2 × x = 2x, 2 × 3 = 6. On écrit x² + 3x + 2x + 6, puis on réduit les termes semblables (3x + 2x = 5x) pour obtenir (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6. Il ne faut jamais oublier les deux produits « croisés » ad et bc, sinon on n'obtient que x² + 6, ce qui est faux. La gestion des signes est essentielle en présence d'une soustraction : pour (x + 1)(x − 4), on calcule x × x = x², x × (−4) = −4x, 1 × x = x, 1 × (−4) = −4, ce qui donne x² − 4x + x − 4 ; après réduction (−4x + x = −3x), on obtient x² − 3x − 4. Pour n'oublier aucun produit, on peut relier chaque terme de gauche à chaque terme de droite par une flèche.

La double distributivité, associée à la réduction, permet de développer complètement un produit de deux sommes et prépare les identités remarquables de la classe de troisième.

Les erreurs fréquentes

On ne fait que deux produits et on oublie les produits croisés : (x + 2)(x + 3) = x² + 6.

Il faut les quatre produits : x² + 3x + 2x + 6, soit x² + 5x + 6 après réduction.

On se trompe de signe avec une soustraction : (x + 1)(x − 4) = x² + 3x − 4.

x × (−4) = −4x et 1 × x = +x, donc −4x + x = −3x : (x + 1)(x − 4) = x² − 3x − 4.

Tu maîtrises la notion si…

• Former les quatre produits d'un produit de deux sommes (a + b)(c + d).
• Développer et réduire (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.
• Gérer les signes avec une soustraction ((x + 1)(x − 4) = x² − 3x − 4).

Vérifie que tu as compris

1. Développe et réduis (x + 2)(x + 3).

   Réponse x² + 5x + 6

   Les quatre produits : x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6. On réduit 3x + 2x = 5x, d'où x² + 5x + 6.

2. Développe et réduis (x + 1)(x − 4).

   Réponse x² − 3x − 4

   Les quatre produits : x × x + x × (−4) + 1 × x + 1 × (−4) = x² − 4x + x − 4. On réduit −4x + x = −3x, d'où x² − 3x − 4.

3. Pour x = 1, (x + 2)(x + 5) vaut 18. Quelle expression développée donne aussi 18 pour x = 1 ?

   Réponse x² + 7x + 10

   La double distributivité donne (x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10. Pour x = 1 : 1 + 7 + 10 = 18, ce qui confirme le développement. Additionner les parenthèses donnerait 1 + 2 + 1 + 5 = 9, et non 18.