Développer avec la simple distributivité

En une phrase

Développer, c'est enlever les parenthèses en multipliant le facteur devant par CHAQUE terme à l'intérieur. Par exemple 3(x + 4) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12. De même 5(2x − 3) = 10x − 15. Attention au signe quand le facteur est négatif : −2(x + 3) = −2x − 6.

Comprendre

La distributivité est la règle qui permet de « développer » un produit, c'est-à-dire de le réécrire sous forme de somme sans parenthèses. Devant une parenthèse, un facteur multiplie TOUT ce qui est à l'intérieur, pas seulement le premier terme. La règle s'écrit k(a + b) = ka + kb : le facteur k est distribué sur a ET sur b.

Ainsi 3(x + 4) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12 : le 3 multiplie le x, mais aussi le 4. L'erreur la plus fréquente est d'oublier de multiplier le second terme et d'écrire 3x + 4. La règle vaut aussi avec une soustraction : k(a − b) = ka − kb, par exemple 5(2x − 3) = 10x − 15. Le point délicat est le signe : quand le facteur est négatif, chaque produit change de signe. Ainsi −2(x + 3) = (−2) × x + (−2) × 3 = −2x − 6 : le +3 devient −6. Développer transforme un produit (compact) en somme (détaillée) ; c'est l'outil de base pour calculer, simplifier et comparer des expressions littérales, et il prépare la factorisation, qui fait le chemin inverse.

Le cours

Développer une expression littérale, c'est transformer un produit en une somme en supprimant les parenthèses grâce à la distributivité de la multiplication sur l'addition. La propriété fondamentale est : pour tous nombres k, a et b, k(a + b) = ka + kb. Autrement dit, le facteur k placé devant la parenthèse multiplie chacun des termes situés à l'intérieur.

Par exemple, 3(x + 4) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12. Il faut bien distribuer sur TOUS les termes : écrire 3x + 4 serait une erreur, car on aurait oublié de multiplier le 4 par 3. La règle s'applique aussi avec une soustraction : k(a − b) = ka − kb, comme 5(2x − 3) = 5 × 2x − 5 × 3 = 10x − 15. Une attention particulière est nécessaire avec un facteur négatif, car chaque produit prend alors un signe : −2(x + 3) = (−2) × x + (−2) × 3 = −2x − 6. Le terme +3 devient bien −6. Retenir que « moins par plus donne moins » évite l'erreur classique −2x + 6. Développer sert à mettre une expression sous une forme plus simple à calculer ou à comparer, et constitue le socle du chapitre : il précède la factorisation (l'opération inverse), la double distributivité et la réduction d'expressions.

Les erreurs fréquentes

On distribue le facteur seulement sur le premier terme : 3(x + 4) = 3x + 4.

Le facteur multiplie TOUS les termes de la parenthèse : 3(x + 4) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12.

Avec un facteur négatif, on oublie de changer le signe du second terme : −2(x + 3) = −2x + 6.

Chaque produit prend son signe : (−2) × 3 = −6, donc −2(x + 3) = −2x − 6.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la distributivité : k(a + b) = ka + kb.
• Développer un produit simple en distribuant sur chaque terme (3(x + 4) = 3x + 12).
• Gérer le signe d'un facteur négatif (−2(x + 3) = −2x − 6).

Vérifie que tu as compris

1. Développe 3(x + 4).

   Réponse 3x + 12

   On distribue le 3 sur chaque terme : 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12. Le facteur 3 multiplie AUSSI le 4 (et non 3x + 4).

2. Développe −2(x + 3).

   Réponse −2x − 6

   Le facteur −2 multiplie les deux termes : (−2) × x + (−2) × 3 = −2x − 6. Attention au signe : −2 × 3 = −6 (et non +6).

3. Un élève affirme que 4(2x + 5) vaut 8x + 5. Quelle est la bonne écriture ?

   Réponse 8x + 20

   Le facteur 4 multiplie les deux termes de la parenthèse : 4 × 2x + 4 × 5 = 8x + 20. L'élève n'a multiplié que 2x et a recopié le 5. L'écriture 6x + 20 viendrait d'une addition 4 + 2 au lieu du produit 4 × 2.