Rappel : moyenne, médiane, étendue

L'essentiel

Quand tu as toute une liste de nombres — des notes, des tailles, des durées — tu ne vas pas les citer un par un : tu les RÉSUMES avec quelques indicateurs. Trois d'entre eux, tu les connais déjà depuis la 4e, et on les revoit ici avant d'aller plus loin. La MOYENNE : tu additionnes toutes les valeurs, puis tu divises par le nombre de valeurs (l'effectif total).

C'est le « partage équitable » : si tout le monde avait la même valeur, ce serait celle-là. La MÉDIANE : tu ranges d'abord la série dans l'ordre croissant, puis tu prends la valeur du MILIEU — celle qui coupe la série en deux moitiés égales, autant de valeurs en dessous qu'au-dessus. Attention, la médiane n'est pas la moyenne : c'est une position, pas un calcul de partage.

L'ÉTENDUE : c'est la différence entre la plus grande valeur (maximum) et la plus petite (minimum). Elle mesure la « largeur » de la série : plus elle est grande, plus les valeurs sont dispersées. Prenons la série fil rouge du chapitre, déjà rangée : 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20. Elle a 11 valeurs.

Sa médiane est la 6ᵉ valeur, 10 (il y a 5 valeurs avant et 5 valeurs après). Son étendue vaut 20 − 5 = 15. À retenir : moyenne = somme ÷ effectif ; médiane = valeur du milieu de la série ordonnée ; étendue = max − min. Moyenne et médiane disent OÙ se situe la série (position) ; l'étendue dit à quel point elle est ÉTALÉE (dispersion).

Comprendre

Ce concept rappelle les trois indicateurs de base vus au cycle 4, socle indispensable avant d'aborder les notions nouvelles de la 3e (effectifs cumulés, quartiles, boîte à moustaches). La MOYENNE (somme des valeurs ÷ effectif total) et la MÉDIANE (valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif) sont deux indicateurs de POSITION : ils disent autour de quelle valeur la série se situe. L'ÉTENDUE (maximum − minimum) est un indicateur de DISPERSION : elle dit sur quelle largeur la série s'étale.

Distinction clé à ne pas confondre : la moyenne se CALCULE (on additionne et on divise), tandis que la médiane se REPÈRE (on ordonne et on prend le milieu) ; ce sont deux notions différentes qui peuvent donner des résultats très éloignés quand la série contient une valeur extrême. Sur la série de référence 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20 (11 valeurs), la médiane est la 6ᵉ valeur = 10 et l'étendue = 20 − 5 = 15. Ce rappel prépare directement la suite : la médiane sera bientôt retrouvée grâce aux effectifs cumulés, et l'étendue sera complétée par un autre indicateur de dispersion plus robuste, l'écart interquartile.

Le cours

RAPPEL : MOYENNE, MÉDIANE, ÉTENDUE. On travaille sur une série statistique, c'est-à-dire une liste de valeurs numériques (des notes, des tailles, des temps…). Pour la résumer, on utilise des indicateurs.

LA MOYENNE. La moyenne d'une série est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs (l'effectif total). C'est un indicateur de POSITION : elle correspond au « partage équitable » de la somme entre tous les individus.

Exemple : pour 8, 10, 12, la moyenne est (8 + 10 + 12) ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10. LA MÉDIANE. On range d'abord la série dans l'ordre croissant. La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en DEUX MOITIÉS de même effectif : il y a autant de valeurs inférieures ou égales que de valeurs supérieures ou égales à la médiane.

Si l'effectif est impair, la médiane est la valeur du milieu ; s'il est pair, toute valeur comprise entre les deux valeurs centrales est une médiane, et on donne en général leur demi-somme. La médiane est aussi un indicateur de position, mais elle ne se calcule pas comme la moyenne : elle se REPÈRE. L'ÉTENDUE.

L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série : étendue = maximum − minimum. C'est un indicateur de DISPERSION : plus l'étendue est grande, plus les valeurs sont écartées les unes des autres. LA SÉRIE FIL ROUGE DU CHAPITRE.

On utilisera tout au long du chapitre la série de 11 valeurs, déjà rangée : 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20. Sa médiane est la 6ᵉ valeur, 10 (5 valeurs avant, 5 après). Son minimum est 5, son maximum 20, donc son étendue vaut 20 − 5 = 15. Points de vigilance. (1) Ne pas confondre moyenne et médiane : la moyenne se calcule (somme ÷ effectif), la médiane se repère (milieu de la série ordonnée). (2) Toujours ORDONNER la série avant de chercher la médiane. (3) L'étendue n'est pas une valeur de la série mais un écart (une différence). À retenir : moyenne = somme ÷ effectif ; médiane = valeur du milieu de la série ordonnée (deux moitiés égales) ; étendue = maximum − minimum ; moyenne et médiane = position, étendue = dispersion.

Les erreurs fréquentes

On confond la moyenne et la médiane, comme si c'était le même nombre.

La MOYENNE se CALCULE : somme des valeurs ÷ effectif total. La MÉDIANE se REPÈRE : on range la série et on prend la valeur du milieu. Ce sont deux indicateurs différents ; ils ne donnent pas forcément le même résultat (surtout s'il y a une valeur extrême).

On cherche la médiane sans avoir rangé la série dans l'ordre croissant.

La médiane est la valeur du milieu de la série ORDONNÉE. Il faut TOUJOURS ranger les valeurs de la plus petite à la plus grande avant de repérer celle du milieu, sinon on ne partage pas la série en deux vraies moitiés.

On pense que l'étendue est la plus grande valeur de la série (le maximum).

L'étendue n'est pas une valeur de la série, c'est un ÉCART : étendue = maximum − minimum. Pour 5, …, 20, l'étendue vaut 20 − 5 = 15, et non 20.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer la moyenne d'une série comme la somme des valeurs divisée par l'effectif total.
• Ranger une série et déterminer sa médiane comme la valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif.
• Calculer l'étendue d'une série comme la différence maximum − minimum.
• Sur la série 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20, donner la médiane (10) et l'étendue (15).

Vérifie que tu as compris

1. Les températures d'une semaine vont de −3 °C à 12 °C. Quelle est l'étendue de cette série ?

   Réponse 15 °C

   Étendue = valeur maximale − valeur minimale = 12 − (−3) = 12 + 3 = 15 °C. Soustraire un nombre négatif revient à ajouter : oublier le signe donnerait 9 °C. Le maximum seul (12 °C) ou la moyenne des deux extrêmes (4,5 °C) ne mesurent pas la dispersion de la série.

2. Pour la série 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20 (11 valeurs rangées), quelles sont la médiane et l'étendue ?

   Réponse médiane = 10 et étendue = 15

   La série a 11 valeurs : la médiane est la 6ᵉ valeur (5 avant, 5 après), donc 10. L'étendue = maximum − minimum = 20 − 5 = 15.

3. Dans une série, quel indicateur tient compte de TOUTES les valeurs, et lequel partage l'effectif en deux moitiés ?

   Réponse la moyenne tient compte de toutes les valeurs ; la médiane partage l'effectif en deux

   La MOYENNE utilise toutes les valeurs (on les additionne puis on divise par l'effectif) : une valeur extrême la déplace beaucoup. La MÉDIANE ne regarde que la position centrale : elle partage l'effectif en deux moitiés et résiste aux valeurs extrêmes. L'étendue, elle, mesure la dispersion.