La boîte à moustaches

L'essentiel

La boîte à moustaches (ou diagramme en boîte) est une image qui résume toute une série avec seulement CINQ nombres : le minimum, le premier quartile Q1, la médiane, le troisième quartile Q3 et le maximum. On la dessine au-dessus d'un axe gradué, pour que les positions soient à l'échelle. La BOÎTE, c'est un rectangle qui va de Q1 à Q3 : elle contient la moitié centrale des valeurs (sa largeur est l'écart interquartile).

À l'intérieur, un trait vertical marque la MÉDIANE. Les MOUSTACHES sont deux segments qui prolongent la boîte : l'un va du minimum jusqu'à Q1, l'autre va de Q3 jusqu'au maximum. Reprenons la série fil rouge et ses cinq nombres : minimum 5, Q1 7, médiane 10, Q3 13, maximum 20. On lit la boîte comme ceci : 5 | 7 [ 10 ] 13 | 20. La moustache de gauche va de 5 à 7, la boîte de 7 à 13 (avec le trait de médiane sur 10), la moustache de droite de 13 à 20. On voit tout de suite que la moustache de droite est plus longue : la valeur 20 est isolée, la série s'étale davantage vers le haut.

Le grand intérêt de ce diagramme : en dessinant DEUX boîtes à moustaches l'une au-dessus de l'autre sur le même axe, on compare deux séries d'un seul coup d'œil — leur POSITION (où se situe la médiane, où est le cœur des valeurs) et leur DISPERSION (largeur de la boîte et longueur des moustaches). À retenir : cinq nombres (min, Q1, médiane, Q3, max) ; boîte de Q1 à Q3 avec trait à la médiane ; moustaches du min à Q1 et de Q3 au max ; pour la série de référence, 5 | 7 [10] 13 | 20.

Comprendre

Ce concept est l'aboutissement du chapitre : il rassemble en un seul diagramme tous les indicateurs construits précédemment. La BOÎTE À MOUSTACHES représente, sur un axe gradué à l'échelle, les CINQ nombres résumant une série : minimum, Q1, médiane, Q3, maximum. La BOÎTE (rectangle) s'étend de Q1 à Q3 — elle visualise la moitié centrale des données, sa largeur étant l'écart interquartile — et un trait interne marque la médiane.

Les MOUSTACHES (segments) relient le minimum à Q1 et Q3 au maximum, montrant l'étalement des valeurs extrêmes. Pour la série de référence : minimum 5, Q1 7, médiane 10, Q3 13, maximum 20, soit 5 | 7 [10] 13 | 20. La lecture est immédiate : une moustache longue signale un étalement (ici, la moustache droite jusqu'à 20 est longue à cause de la valeur atypique), et la position de la médiane dans la boîte renseigne sur la symétrie. L'usage décisif est la COMPARAISON : superposer deux boîtes sur le même axe permet de comparer d'un coup d'œil la position (médiane, cœur des valeurs) et la dispersion (largeur de boîte, longueur des moustaches) de deux séries, sans recalculer.

Erreurs fréquentes : croire que la boîte va du minimum au maximum (elle va de Q1 à Q3) ; oublier le trait de médiane ; confondre la longueur d'une moustache avec une valeur au lieu d'un intervalle ; ou dessiner le diagramme sans respecter l'échelle de l'axe.

Le cours

LA BOÎTE À MOUSTACHES. Un diagramme qui résume cinq nombres. La boîte à moustaches (aussi appelée diagramme en boîte) résume une série statistique à l'aide de CINQ nombres : le minimum, le premier quartile Q1, la médiane, le troisième quartile Q3 et le maximum.

On la trace au-dessus d'un axe gradué, de sorte que chaque nombre soit placé à sa position réelle (à l'échelle). Comment on la construit. (1) On repère sur l'axe les cinq nombres. (2) On dessine un RECTANGLE (la boîte) allant de Q1 à Q3 : il représente la moitié centrale des valeurs, et sa largeur est l'écart interquartile. (3) À l'intérieur du rectangle, on trace un trait vertical à la MÉDIANE. (4) On ajoute les deux MOUSTACHES : un segment du minimum jusqu'à Q1 (à gauche) et un segment de Q3 jusqu'au maximum (à droite). Exemple fil rouge.

Série 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20. Ses cinq nombres : minimum 5, Q1 = 7, médiane = 10, Q3 = 13, maximum 20. La boîte va de 7 à 13, avec un trait à 10 ; la moustache gauche va de 5 à 7, la moustache droite de 13 à 20. Résumé visuel : 5 | 7 [10] 13 | 20. On remarque que la moustache droite (13 → 20) est plus longue que la gauche (5 → 7) : la série est plus étalée vers le haut, à cause de la valeur atypique 20. Comment on la lit. La boîte montre où se concentre la moitié centrale des données ; le trait de médiane indique le centre ; les moustaches montrent l'étalement vers les extrêmes. Une boîte étroite signale des valeurs resserrées ; de longues moustaches, un fort étalement.

Comparer deux séries. En traçant DEUX boîtes à moustaches sur le même axe gradué, on compare deux séries d'un coup d'œil : leur POSITION (position de la médiane, du cœur des valeurs) et leur DISPERSION (largeur des boîtes, longueur des moustaches). C'est l'outil idéal pour dire, par exemple, quelle classe a des résultats plus réguliers, ou quel groupe est globalement plus élevé.

Points de vigilance. (1) La boîte va de Q1 à Q3 (PAS du minimum au maximum) : ce sont les moustaches qui atteignent le minimum et le maximum. (2) Ne pas oublier le trait de la médiane à l'intérieur de la boîte. (3) Respecter l'échelle de l'axe : les longueurs doivent être proportionnelles aux écarts. À retenir : boîte à moustaches = min, Q1, médiane, Q3, max ; boîte de Q1 à Q3 avec trait à la médiane ; moustaches du min à Q1 et de Q3 au max ; deux boîtes = comparaison de position et de dispersion.

Les erreurs fréquentes

On croit que la boîte (le rectangle) va du minimum au maximum de la série.

La BOÎTE va de Q1 à Q3 : elle représente la moitié centrale des valeurs. Ce sont les MOUSTACHES qui vont jusqu'aux extrêmes : du minimum à Q1 et de Q3 au maximum. Pour la série de référence, la boîte va de 7 à 13, pas de 5 à 20.

On oublie de tracer le trait de la médiane à l'intérieur de la boîte.

La médiane est l'un des cinq nombres résumés : elle se matérialise par un trait vertical À L'INTÉRIEUR de la boîte (ici à 10). Sans ce trait, il manque une information essentielle sur le centre de la série.

On dessine les cinq repères à intervalles réguliers, sans respecter l'échelle de l'axe.

La boîte à moustaches se trace sur un axe GRADUÉ : chaque nombre est placé à sa position réelle. Les longueurs des moustaches et de la boîte doivent être proportionnelles aux écarts (par exemple, la moustache 13 → 20 est plus longue que la moustache 5 → 7).

Tu maîtrises la notion si…

• Nommer les cinq nombres résumés par une boîte à moustaches (minimum, Q1, médiane, Q3, maximum).
• Construire une boîte à moustaches sur un axe gradué : boîte de Q1 à Q3, trait à la médiane, moustaches du minimum à Q1 et de Q3 au maximum.
• Lire les cinq nombres d'une boîte à moustaches donnée et interpréter la longueur d'une moustache (étalement).
• Comparer deux séries à l'aide de deux boîtes à moustaches (position et dispersion), par exemple pour la série de référence 5 | 7 [10] 13 | 20.

Vérifie que tu as compris

1. Quels sont les cinq nombres résumés par une boîte à moustaches ?

   Réponse minimum, Q1, médiane, Q3, maximum

   La boîte à moustaches résume cinq nombres : le minimum, le premier quartile Q1, la médiane, le troisième quartile Q3 et le maximum. La boîte va de Q1 à Q3 (trait à la médiane) ; les moustaches vont du minimum à Q1 et de Q3 au maximum.

2. Une boîte à moustaches montre : minimum 5, Q1 7, médiane 10, Q3 13, maximum 20. Que représente le rectangle (la boîte) ?

   Réponse il va de Q1 (7) à Q3 (13), avec un trait à la médiane (10)

   La boîte (le rectangle) va de Q1 = 7 à Q3 = 13 : elle contient la moitié centrale des valeurs (largeur = écart interquartile = 6). Le trait intérieur marque la médiane (10). Les moustaches, elles, vont du minimum (5) à Q1 (7) et de Q3 (13) au maximum (20).

3. Sur une boîte à moustaches, que représente la distance entre les extrémités des deux moustaches ?

   Réponse l'étendue de la série (maximum − minimum)

   Les moustaches vont du minimum à Q1 et de Q3 au maximum : d'une extrémité à l'autre, on couvre donc tout l'écart entre le minimum et le maximum, c'est-à-dire l'ÉTENDUE. C'est la largeur du RECTANGLE (de Q1 à Q3) qui donne, elle, l'écart interquartile.