Quartiles Q1, Q3 et écart interquartile

L'essentiel

La médiane coupe la série en deux moitiés. Les QUARTILES vont plus loin : ils la découpent en QUATRE quarts. Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur telle qu'AU MOINS UN QUART (25 %) des valeurs de la série lui sont inférieures ou égales.

Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur telle qu'AU MOINS TROIS QUARTS (75 %) des valeurs lui sont inférieures ou égales. (Le deuxième quartile, au milieu, n'est autre que la médiane.) Méthode de calcul pour une série rangée de N valeurs : pour Q1, on calcule N ÷ 4 ; si le résultat n'est pas entier, on arrondit au rang ENTIER SUPÉRIEUR, et Q1 est la valeur de ce rang. Pour Q3, on calcule 3 × N ÷ 4, même règle d'arrondi.

Sur la série fil rouge, 11 valeurs rangées : 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20. Pour Q1 : 11 ÷ 4 = 2,75, on arrondit à 3, donc Q1 = la 3ᵉ valeur = 7. Pour Q3 : 3 × 11 ÷ 4 = 8,25, on arrondit à 9, donc Q3 = la 9ᵉ valeur = 13. L'ÉCART INTERQUARTILE, c'est Q3 − Q1 = 13 − 7 = 6. Il mesure la largeur du « cœur » de la série, c'est-à-dire la dispersion de la moitié centrale des valeurs (celles qui sont entre Q1 et Q3). Contrairement à l'étendue, il ne tient pas compte des valeurs extrêmes (comme le 20 isolé), donc il résiste mieux aux valeurs à part. À retenir : Q1 = au moins 25 % des valeurs ≤ Q1 ; Q3 = au moins 75 % ; écart interquartile = Q3 − Q1 ; sur la série de référence, Q1 = 7, Q3 = 13, écart interquartile = 6.

Comprendre

Ce concept introduit les indicateurs de position et de dispersion propres à la 3e, en prolongeant la logique de la médiane. Les QUARTILES découpent la série ordonnée en quatre parts. Q1 est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales ; Q3, telle qu'au moins 75 % le sont.

La méthode pratique repose sur le rang : pour N valeurs rangées, on calcule N ÷ 4 (pour Q1) et 3 × N ÷ 4 (pour Q3), et si le résultat n'est pas entier, on prend le rang entier immédiatement supérieur. Sur la série de référence (N = 11) : 11 ÷ 4 = 2,75 → 3ᵉ valeur, Q1 = 7 ; 3 × 11 ÷ 4 = 8,25 → 9ᵉ valeur, Q3 = 13. L'ÉCART INTERQUARTILE Q3 − Q1 = 6 mesure la dispersion de la moitié centrale des données ; c'est un indicateur de dispersion plus ROBUSTE que l'étendue, car il ignore les valeurs extrêmes (ici, la valeur atypique 20 ne l'affecte pas). Erreurs fréquentes : arrondir N ÷ 4 au rang inférieur ou confondre le quartile avec le pourcentage lui-même ; oublier que la série doit être ordonnée ; confondre écart interquartile (Q3 − Q1) et étendue (max − min).

Ces cinq repères — min, Q1, médiane, Q3, max — sont exactement ceux que la boîte à moustaches représentera au concept suivant.

Le cours

QUARTILES Q1, Q3 ET ÉCART INTERQUARTILE. Découper la série en quatre. La médiane partage la série ordonnée en deux moitiés.

Les quartiles la découpent en QUATRE parts d'effectifs comparables. Le PREMIER QUARTILE Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu'AU MOINS 25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales. Le TROISIÈME QUARTILE Q3 est la plus petite valeur telle qu'AU MOINS 75 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Le deuxième quartile correspond à la médiane. Méthode par le rang. La série étant rangée dans l'ordre croissant et comptant N valeurs : pour Q1, on calcule N ÷ 4 ; si ce n'est pas un entier, on prend le rang entier immédiatement supérieur, et Q1 est la valeur de ce rang.

Pour Q3, on calcule 3 × N ÷ 4 avec la même règle. Exemple fil rouge. Série de 11 valeurs : 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20. Pour Q1 : 11 ÷ 4 = 2,75, arrondi au rang supérieur → rang 3 → Q1 = 7. Pour Q3 : 3 × 11 ÷ 4 = 8,25, arrondi au rang supérieur → rang 9 → Q3 = 13. L'écart interquartile.

L'ÉCART INTERQUARTILE est la différence Q3 − Q1. Ici : 13 − 7 = 6. Il mesure la dispersion du « cœur » de la série : la largeur de l'intervalle qui contient la moitié centrale des données (entre Q1 et Q3). Intérêt : contrairement à l'étendue (max − min), l'écart interquartile ne dépend PAS des valeurs extrêmes. Sur notre série, la valeur atypique 20 gonfle l'étendue (15) mais n'affecte pas l'écart interquartile (6) : ce dernier décrit mieux la dispersion habituelle.

Points de vigilance. (1) La série doit être ORDONNÉE avant de chercher les rangs. (2) On arrondit N ÷ 4 et 3 × N ÷ 4 au rang entier SUPÉRIEUR quand ils ne sont pas entiers. (3) Ne pas confondre écart interquartile (Q3 − Q1) et étendue (max − min). À retenir : Q1 = au moins 25 % des valeurs ≤ Q1 ; Q3 = au moins 75 % ; écart interquartile = Q3 − Q1 ; pour la série de référence, Q1 = 7, Q3 = 13, écart interquartile = 6.

Les erreurs fréquentes

On arrondit N ÷ 4 au rang entier inférieur (ou on prend directement le résultat non entier).

Quand N ÷ 4 (ou 3 × N ÷ 4) n'est pas entier, on prend le rang entier immédiatement SUPÉRIEUR. Pour N = 11 : 11 ÷ 4 = 2,75 → rang 3 (Q1) et 3 × 11 ÷ 4 = 8,25 → rang 9 (Q3).

On confond l'écart interquartile (Q3 − Q1) avec l'étendue (maximum − minimum).

L'étendue = max − min tient compte des valeurs extrêmes. L'écart interquartile = Q3 − Q1 ne mesure que la dispersion de la moitié centrale et ignore les extrêmes. Sur la série de référence : étendue = 15, mais écart interquartile = 6.

On cherche les quartiles sans avoir rangé la série dans l'ordre croissant.

Comme pour la médiane, Q1 et Q3 se déterminent sur la série ORDONNÉE : le rang N ÷ 4 (ou 3 × N ÷ 4) ne désigne la bonne valeur que si les valeurs sont rangées de la plus petite à la plus grande.

Tu maîtrises la notion si…

• Définir Q1 (au moins 25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales) et Q3 (au moins 75 %).
• Déterminer les rangs de Q1 et Q3 par N ÷ 4 et 3 × N ÷ 4 (arrondis au rang supérieur) sur une série ordonnée.
• Calculer l'écart interquartile Q3 − Q1 et l'interpréter comme la dispersion du cœur de la série.
• Sur la série 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20, donner Q1 = 7, Q3 = 13 et l'écart interquartile 6, et le distinguer de l'étendue 15.

Vérifie que tu as compris

1. Comment définit-on le premier quartile Q1 d'une série ?

   Réponse la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % lui soient inférieures ou égales

   Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins un quart (25 %) des valeurs lui sont inférieures ou égales. De même, Q3 correspond à au moins trois quarts (75 %).

2. Pour la série 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20 (N = 11), quels sont Q1, Q3 et l'écart interquartile ?

   Réponse Q1 = 7, Q3 = 13, écart interquartile = 6

   11 ÷ 4 = 2,75 → on prend la 3ᵉ valeur : Q1 = 7. 3 × 11 ÷ 4 = 8,25 → on prend la 9ᵉ valeur : Q3 = 13. L'écart interquartile = Q3 − Q1 = 13 − 7 = 6.

3. Que mesure l'écart interquartile Q3 − Q1 ?

   Réponse la dispersion de la moitié centrale des valeurs

   Entre Q1 et Q3 se trouve environ la moitié centrale de l'effectif. La largeur de cet intervalle, Q3 − Q1, mesure donc la dispersion de ce cœur de la série. Contrairement à l'étendue, elle ignore les valeurs extrêmes : c'est un indicateur de dispersion plus robuste.