Effectifs cumulés et fréquences cumulées

L'essentiel

Quand une série contient beaucoup de données, on ne les écrit pas une par une : on les range dans un TABLEAU où chaque valeur est associée à son EFFECTIF (le nombre de fois qu'elle apparaît). À partir de là, on peut CUMULER, c'est-à-dire additionner les effectifs au fur et à mesure, de la plus petite valeur à la plus grande. L'EFFECTIF CUMULÉ CROISSANT d'une valeur, c'est le nombre total de données qui sont INFÉRIEURES OU ÉGALES à cette valeur.

Exemple : dans une classe de 20 élèves, on a compté le nombre de frères et sœurs. Valeur 0 : effectif 2 ; valeur 1 : effectif 5 ; valeur 2 : effectif 7 ; valeur 3 : effectif 4 ; valeur 4 : effectif 2. On cumule : pour 0 → 2 ; pour 1 → 2 + 5 = 7 ; pour 2 → 7 + 7 = 14 ; pour 3 → 14 + 4 = 18 ; pour 4 → 18 + 2 = 20 (le total). L'effectif cumulé de la dernière valeur est toujours l'effectif total.

Cela répond directement à une question du type « combien d'élèves ont AU PLUS 2 frères et sœurs ? » → 14. La FRÉQUENCE CUMULÉE, c'est le même cumul mais en PROPORTION : on divise l'effectif cumulé par l'effectif total, et on l'exprime souvent en pourcentage. Ici, pour la valeur 2 : 14 ÷ 20 = 0,7 = 70 %. Donc 70 % des élèves ont au plus 2 frères et sœurs.

À retenir : effectif cumulé croissant = combien de valeurs sont ≤ x (on additionne les effectifs de gauche à droite) ; fréquence cumulée = effectif cumulé ÷ effectif total (en %). C'est l'outil qui servira, juste après, à retrouver la médiane.

Comprendre

Ce concept installe l'outil d'organisation des données propre au traitement des grandes séries en 3e : les cumuls. L'EFFECTIF CUMULÉ CROISSANT d'une valeur x est la somme des effectifs de toutes les valeurs ≤ x ; il répond à « combien de données sont inférieures ou égales à x ? ». On l'obtient en additionnant les effectifs de la plus petite valeur vers la plus grande ; le dernier effectif cumulé égale toujours l'effectif total.

La FRÉQUENCE CUMULÉE est ce même cumul rapporté à l'effectif total (effectif cumulé ÷ effectif total), généralement en pourcentage : elle dit quelle PROPORTION des données est ≤ x. L'intérêt majeur de ces cumuls est double : ils permettent de répondre vite à des questions de position (« combien / quelle proportion de valeurs au plus égales à x ? ») et surtout ils fournissent la méthode pour retrouver la médiane et les quartiles sur une grande série (concept suivant). Erreur fréquente : confondre l'effectif d'une valeur (combien de fois elle apparaît) avec son effectif cumulé (combien de valeurs lui sont ≤).

Autre confusion : oublier que la fréquence cumulée est une proportion (entre 0 et 1, ou 0 % et 100 %), et non un simple compte. Ce concept est le pivot technique du chapitre : sans cumuls, la lecture de la médiane et des quartiles sur un tableau reste hors de portée.

Le cours

EFFECTIFS CUMULÉS ET FRÉQUENCES CUMULÉES. Le tableau des effectifs. Pour organiser une série, on dresse un tableau : chaque valeur de la série est associée à son EFFECTIF, c'est-à-dire au nombre de fois qu'elle apparaît.

La somme de tous les effectifs est l'EFFECTIF TOTAL. L'effectif cumulé croissant. On range les valeurs dans l'ordre croissant, puis on additionne les effectifs au fur et à mesure.

L'EFFECTIF CUMULÉ CROISSANT d'une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à celle-ci. Autrement dit, il indique combien de données de la série sont ≤ à cette valeur. Le dernier effectif cumulé (celui de la plus grande valeur) est toujours égal à l'effectif total.

Exemple. Dans une classe de 20 élèves, on relève le nombre de frères et sœurs : valeur 0 (effectif 2), valeur 1 (effectif 5), valeur 2 (effectif 7), valeur 3 (effectif 4), valeur 4 (effectif 2). Effectifs cumulés : 0 → 2 ; 1 → 2 + 5 = 7 ; 2 → 7 + 7 = 14 ; 3 → 14 + 4 = 18 ; 4 → 18 + 2 = 20. On lit directement : 14 élèves ont au plus 2 frères et sœurs.

La fréquence cumulée. La FRÉQUENCE CUMULÉE d'une valeur est son effectif cumulé divisé par l'effectif total ; on l'exprime souvent en pourcentage. Elle donne la PROPORTION des données inférieures ou égales à cette valeur.

Dans l'exemple, pour la valeur 2 : 14 ÷ 20 = 0,7 = 70 %. Donc 70 % des élèves ont au plus 2 frères et sœurs. À quoi ça sert.

Les cumuls répondent immédiatement aux questions « combien de valeurs sont ≤ x ? » (effectif cumulé) et « quelle proportion des valeurs est ≤ x ? » (fréquence cumulée). Ils servent surtout, dans le concept suivant, à repérer la médiane et les quartiles sur une grande série. Points de vigilance. (1) Ne pas confondre l'EFFECTIF d'une valeur (combien de fois elle apparaît) et son EFFECTIF CUMULÉ (combien de valeurs lui sont ≤). (2) La fréquence cumulée est une proportion : elle va de 0 à 1 (ou 0 % à 100 %) et atteint 100 % à la dernière valeur. (3) On cumule dans l'ordre CROISSANT des valeurs.

À retenir : effectif cumulé croissant = somme des effectifs jusqu'à une valeur = nombre de données ≤ à cette valeur ; fréquence cumulée = effectif cumulé ÷ effectif total (en %).

Les erreurs fréquentes

On confond l'effectif d'une valeur (combien de fois elle apparaît) et son effectif cumulé.

L'EFFECTIF d'une valeur, c'est le nombre de fois qu'elle apparaît. L'EFFECTIF CUMULÉ CROISSANT, c'est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales : il dit combien de données sont ≤ à cette valeur. Pour la valeur 2 de l'exemple, l'effectif est 7 mais l'effectif cumulé est 14.

On additionne les valeurs elles-mêmes au lieu d'additionner les effectifs.

On cumule les EFFECTIFS (les nombres d'apparitions), pas les valeurs. Effectif cumulé de la valeur x = somme des effectifs des valeurs ≤ x, et le dernier effectif cumulé égale l'effectif total.

On donne la fréquence cumulée comme un simple nombre d'élèves, pas comme une proportion.

La fréquence cumulée est un rapport : effectif cumulé ÷ effectif total, entre 0 et 1 (ou 0 % et 100 %). Pour la valeur 2 : 14 ÷ 20 = 0,7 = 70 %, pas « 14 ».

Tu maîtrises la notion si…

• Construire la colonne des effectifs cumulés croissants en additionnant les effectifs dans l'ordre croissant des valeurs.
• Interpréter un effectif cumulé comme le nombre de données inférieures ou égales à une valeur.
• Calculer une fréquence cumulée (effectif cumulé ÷ effectif total, en %).
• Lire dans le tableau combien de données (et quelle proportion) sont inférieures ou égales à une valeur donnée.

Vérifie que tu as compris

1. Que représente l'effectif cumulé croissant d'une valeur x dans une série ?

   Réponse le nombre de valeurs inférieures ou égales à x

   L'effectif cumulé croissant additionne les effectifs au fur et à mesure : il donne le nombre total de valeurs inférieures ou égales à x. Il répond à la question « combien de valeurs sont ≤ x ? ».

2. Dans une série de 40 données, l'effectif cumulé de la valeur 12 est 30. Quelle est la fréquence cumulée correspondante ?

   Réponse 75 % (30 ÷ 40 = 0,75)

   La fréquence cumulée = effectif cumulé ÷ effectif total = 30 ÷ 40 = 0,75 = 75 %. Autrement dit, 75 % des données sont inférieures ou égales à 12.

3. Dans un tableau d'effectifs cumulés croissants, que vaut toujours la dernière case de la ligne ?

   Réponse l'effectif total de la série

   Les effectifs cumulés croissants s'additionnent de proche en proche : la dernière case a donc tout absorbé et vaut l'effectif total N. C'est un contrôle simple pour vérifier un tableau : si la dernière case ne donne pas N, il y a une erreur d'addition.