La médiane à l'aide des effectifs cumulés

L'essentiel

On sait déjà que la médiane partage la série ordonnée en deux moitiés égales. Mais quand une série contient beaucoup de données, on ne va pas les recopier une à une : on utilise le tableau des EFFECTIFS CUMULÉS construit au concept précédent. L'idée est simple : la médiane est la valeur pour laquelle l'effectif cumulé croissant atteint la MOITIÉ de l'effectif total, soit 50 %.

Pourquoi ? Parce que la moitié des données doit se trouver en dessous. Méthode : on calcule la moitié de l'effectif total, puis on cherche dans la colonne des effectifs cumulés la première valeur dont le cumul atteint (ou dépasse) cette moitié.

Reprenons la série fil rouge, 11 valeurs déjà rangées : 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20. La moitié de 11 « tombe » sur le 6ᵉ individu : on cherche la valeur qui contient ce 6ᵉ rang. C'est la 6ᵉ valeur, 10, qui laisse 5 valeurs avant et 5 valeurs après. La médiane vaut donc 10. Sur un vrai tableau d'effectifs (comme celui des frères et sœurs), on lit la colonne des effectifs cumulés jusqu'à atteindre la moitié de l'effectif total : la valeur qui fait basculer le cumul au-delà de la moitié est la médiane.

À retenir : la médiane est la valeur pour laquelle l'effectif cumulé atteint 50 % de l'effectif total ; pour 11 valeurs, c'est la 6ᵉ, ici 10. Les effectifs cumulés transforment la recherche du « milieu » en une simple lecture de tableau.

Comprendre

Ce concept relie deux notions déjà installées : la médiane (indicateur de position) et les effectifs cumulés (outil d'organisation). Sur une grande série, on ne cherche plus la valeur du milieu « à la main » : on la LIT dans la colonne des effectifs cumulés croissants. La médiane est la valeur pour laquelle l'effectif cumulé atteint la moitié de l'effectif total (50 %), car c'est exactement le seuil où la moitié des données est déjà atteinte.

Méthode robuste : calculer la moitié de l'effectif total, puis repérer dans la colonne cumulée la première valeur qui atteint ou dépasse cette moitié. Sur la série de référence de 11 valeurs, le rang médian est le 6ᵉ : la 6ᵉ valeur est 10, qui laisse 5 valeurs de chaque côté ; la médiane vaut donc 10. Erreurs fréquentes : prendre la moitié de la plus grande VALEUR au lieu de la moitié de l'EFFECTIF total ; ou lire l'effectif simple au lieu de l'effectif cumulé. Ce concept est le point de bascule du chapitre : la même logique de « seuil dans les cumuls » resservira au concept suivant pour les quartiles (seuils à 25 % et 75 %), puis la médiane rejoindra le minimum, Q1, Q3 et le maximum dans la boîte à moustaches.

Le cours

LA MÉDIANE À L'AIDE DES EFFECTIFS CUMULÉS. Le principe. La médiane partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif.

Sur une grande série, on la repère grâce aux effectifs cumulés croissants : la MÉDIANE est la valeur pour laquelle l'effectif cumulé atteint la MOITIÉ de l'effectif total (50 %). En effet, c'est la valeur qui fait basculer le cumul au-delà de la moitié des données : la moitié des valeurs lui est inférieure ou égale, l'autre moitié supérieure ou égale. La méthode. (1) On calcule la moitié de l'effectif total. (2) On parcourt la colonne des effectifs cumulés croissants. (3) La médiane est la première valeur dont l'effectif cumulé atteint ou dépasse cette moitié.

Cas de la série rangée. Si les valeurs sont données une à une (série non regroupée), il suffit de compter : pour un effectif impair, la médiane est la valeur du milieu. Exemple fil rouge : 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20 (11 valeurs).

Le rang du milieu est le 6ᵉ (il laisse 5 valeurs avant et 5 après). La 6ᵉ valeur est 10 : la médiane vaut 10. On retrouve bien la valeur pour laquelle l'effectif cumulé atteint la moitié de 11. Cas d'un tableau d'effectifs. Pour une grande série regroupée en tableau, on ajoute la colonne des effectifs cumulés, puis on repère la valeur où le cumul atteint la moitié de l'effectif total.

Par exemple, avec un effectif total de 40, on cherche la valeur dont l'effectif cumulé atteint 20 : c'est la médiane. ATTENTION : cette lecture par le cumul est la convention retenue pour une série REGROUPÉE EN TABLEAU. Sur des données brutes à effectif PAIR, toute valeur comprise entre les deux valeurs centrales est une médiane : pour 40 données rangées, entre la 20ᵉ et la 21ᵉ, et on donne en général leur demi-somme.

Points de vigilance. (1) On prend la moitié de l'EFFECTIF TOTAL (le nombre de données), pas la moitié de la plus grande valeur. (2) On lit l'effectif CUMULÉ, pas l'effectif simple. (3) On travaille toujours sur des valeurs rangées dans l'ordre croissant. À retenir : la médiane est la valeur pour laquelle l'effectif cumulé croissant atteint la moitié de l'effectif total (50 %) ; pour une série de 11 valeurs, c'est la 6ᵉ valeur (ici 10).

Les erreurs fréquentes

On prend la moitié de la plus grande valeur au lieu de la moitié de l'effectif total.

La médiane se repère avec la moitié de l'EFFECTIF TOTAL (le nombre de données), pas avec la moitié d'une valeur. Pour 11 données, on cherche le 6ᵉ individu ; pour un total de 40, on cherche là où le cumul atteint 20.

On lit l'effectif simple d'une valeur au lieu de son effectif cumulé pour repérer la médiane.

La médiane se lit dans la colonne des effectifs CUMULÉS croissants : c'est la valeur où ce cumul atteint la moitié de l'effectif total. L'effectif simple (nombre d'apparitions) ne suffit pas.

On croit que pour 11 valeurs la médiane est la 5ᵉ ou la 5,5ᵉ valeur.

Pour un effectif impair de 11, la médiane est la valeur du milieu, la 6ᵉ : elle laisse exactement 5 valeurs de chaque côté. Sur la série de référence, la 6ᵉ valeur est 10.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que la médiane est la valeur pour laquelle l'effectif cumulé croissant atteint la moitié de l'effectif total.
• Déterminer le rang médian d'une série (pour 11 valeurs, le 6ᵉ rang) et lire la valeur correspondante.
• Lire la médiane dans un tableau d'effectifs cumulés en repérant le seuil de 50 % de l'effectif total.
• Sur la série 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20, justifier que la médiane est 10.

Vérifie que tu as compris

1. À l'aide des effectifs cumulés, comment repère-t-on la médiane d'une série ?

   Réponse la valeur où l'effectif cumulé atteint 50 % du total

   La médiane partage la série en deux moitiés : c'est donc la valeur pour laquelle l'effectif cumulé croissant atteint la moitié de l'effectif total (50 %). On lit directement cette valeur dans la colonne des effectifs cumulés.

2. Une série compte 11 valeurs rangées. Quelle valeur donne la médiane ?

   Réponse la 6ᵉ valeur (5 valeurs de chaque côté)

   Avec 11 valeurs (effectif impair), la médiane est la valeur du milieu : la 6ᵉ, qui laisse 5 valeurs avant et 5 valeurs après. Pour la série 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20, la 6ᵉ valeur est 10.

3. L'effectif total d'une série est PAIR. Comment donne-t-on alors une médiane ?

   Réponse toute valeur comprise entre les deux valeurs centrales convient ; on donne souvent leur demi-somme

   Avec un effectif pair N, aucune valeur ne se trouve exactement au milieu : deux valeurs se partagent le centre (rangs N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1). Toute valeur comprise entre elles partage la série en deux groupes de même effectif : c'est une médiane — pour un effectif pair, la médiane n'est généralement pas unique. On donne le plus souvent leur demi-somme : pour N = 40, la demi-somme des 20ᵉ et 21ᵉ valeurs.