Qu'est-ce qu'une fonction
Et si un nombre pouvait en fabriquer un autre ?
En une phrase
Une fonction, c'est une machine à nombres : tu rentres un nombre x, elle te ressort UN seul nombre noté f(x). À chaque entrée correspond une seule sortie.
L'idée à retenir
Une fonction est une machine : à chaque nombre d'entrée x, elle associe UN SEUL nombre de sortie, noté f(x). Ici f multiplie par 2 puis ajoute 1 : l'entrée 3 donne la sortie 7.
Comprendre
Imagine une machine : tu lui donnes un nombre d'entrée, elle fait toujours le même calcul dessus, et elle te rend un nombre de sortie. C'est exactement ça, une fonction. Le nombre que tu rentres s'appelle x (la variable), et le nombre qui sort s'appelle f(x), qui se lit « f de x ».
La règle la plus importante à retenir : pour une entrée donnée, la machine ne rend qu'UN SEUL nombre de sortie. Elle ne peut pas hésiter entre deux résultats pour le même x. Par exemple, avec la fonction f définie par f(x) = 2x + 1, si tu entres x = 3, la machine calcule 2 × 3 + 1 = 7 : la sortie est 7, et c'est la seule possible.
Une fonction sert à décrire une dépendance entre deux nombres : la sortie dépend de l'entrée. Dans la vie, c'est partout : le prix à payer dépend du nombre de litres d'essence, la distance parcourue dépend du temps de marche. À chaque fois qu'une grandeur en détermine une autre de façon unique, on peut décrire ce lien par une fonction.
On note souvent une fonction par une lettre, le plus souvent f, et on écrit f : x ↦ f(x), ce qui se lit « f associe à x le nombre f(x) ».
Le cours
Une fonction est un processus qui, à chaque nombre d'entrée, associe un unique nombre de sortie. On peut se la représenter comme une machine : on y fait entrer un nombre, appelé la variable et noté x, et la machine renvoie un nombre, la sortie, noté f(x) et lu « f de x ». La règle fondamentale est l'unicité de l'image : à une même entrée x, une fonction ne peut associer qu'un seul nombre de sortie.
C'est ce qui distingue une fonction d'une simple correspondance quelconque. On note une fonction à l'aide d'une lettre, par exemple f, g ou h, et on écrit f : x ↦ f(x), ce qui se lit « f associe à x le nombre f(x) ». La fonction peut être donnée de plusieurs façons : par une phrase (« à un nombre, on associe son double augmenté de 1 »), par une formule de calcul (par exemple f(x) = 2x + 1), par un tableau de valeurs ou par une courbe.
Une fonction modélise une situation de dépendance entre deux grandeurs : la grandeur de sortie est déterminée par la grandeur d'entrée. Par exemple, le prix payé pour de l'essence dépend du nombre de litres : à chaque quantité de litres correspond un seul prix, c'est donc une fonction. Comprendre une fonction, c'est savoir identifier ce qui entre, ce qui sort, et le fait que chaque entrée n'a qu'une seule sortie.
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Les erreurs fréquentes
- Une fonction peut renvoyer plusieurs nombres de sortie différents pour une même entrée x.
- Non : à chaque entrée x, une fonction associe UN SEUL nombre de sortie f(x). C'est la règle de base d'une fonction ; si une entrée donnait deux sorties, ce ne serait pas une fonction.
- f(x) est une multiplication : f(x) veut dire f multiplié par x.
- f(x) n'est pas une multiplication : c'est la sortie de la fonction f quand l'entrée vaut x. La lettre f est le nom de la machine, pas un nombre à multiplier ; f(x) se lit « f de x ».
Tu maîtrises la notion si…
- Décrire une fonction comme une machine qui, à un nombre d'entrée x, associe un seul nombre de sortie f(x).
- Énoncer la règle d'unicité : à chaque entrée correspond une seule sortie.
- Relier une fonction à une situation de dépendance entre deux grandeurs (la sortie dépend de l'entrée).
Vérifie que tu as compris
Une fonction associe à chaque nombre d'entrée :
Réponse un seul nombre de sortie
Une fonction est une « machine » : à chaque entrée, elle associe une seule sortie.
La notation « f : x ↦ 5x » se lit :
Réponse à x, f associe 5x
Le symbole ↦ signifie « a pour image » : à l'entrée x, la fonction f associe la sortie 5x.
Pour l'entrée 4, un appareil affiche tantôt 9, tantôt 12. S'agit-il d'une fonction ?
Réponse non, ce n'est pas une fonction
Une fonction associe à chaque entrée UNE SEULE sortie. Ici l'entrée 4 donne tantôt 9, tantôt 12 : la machine hésite, donc ce n'est pas une fonction. Ce n'est pas l'écart entre 9 et 12 qui pose problème, c'est qu'il y ait deux sorties pour une même entrée.
S'entraîner sur cette notion
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Ouvrir cette scène dans Azulma →Les quatre étapes pour maîtriser cette notion
Une fonction transforme une entrée en une sortie.
Pense « machine » : un nombre entre, un nombre sort.
À chaque entrée, une SEULE sortie.
Une entrée ne peut pas donner deux sorties différentes.
f : ×2 puis +1. L'entrée 3 donne 7.
Applique la règle dans l'ordre : d'abord ×2, puis +1.
A : une seule sortie par entrée → c'est une fonction. B : deux sorties pour 5 → ce n'en est pas une.
Une entrée ne doit avoir QU'UNE sortie ; l'inverse (deux entrées, une même sortie) est permis.