L'image d'un nombre

En une phrase

L'image, c'est le nombre qui SORT de la machine. Pour la trouver, tu remplaces x par le nombre donné dans la formule, puis tu calcules. Avec f(x) = 2x + 1, l'image de 3 est f(3) = 2×3 + 1 = 7.

Comprendre

Quand tu fais entrer un nombre x dans une fonction f, le nombre qui sort s'appelle l'image de x : on le note f(x). L'image, c'est donc la sortie de la machine. Pour la calculer, la méthode est toujours la même : tu prends l'expression de la fonction et tu remplaces la lettre x par la valeur d'entrée, puis tu effectues le calcul.

Par exemple, avec la fonction f définie par f(x) = 2x + 1, pour trouver l'image de 3 tu écris f(3) = 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7. On dit alors que 7 est l'image de 3 par la fonction f, et on écrit f(3) = 7. Fais bien attention à la place des parenthèses et au respect des priorités : on calcule d'abord 2 × 3, puis on ajoute 1. Une chose essentielle à retenir : un nombre a toujours UNE SEULE image. Quand tu connais l'entrée, il n'y a qu'une réponse possible pour la sortie. C'est le sens « direct » de la fonction : entrée connue → on calcule la sortie.

Dire « l'image de 3 est 7 », « f(3) = 7 » ou « la machine renvoie 7 quand on entre 3 » sont trois façons d'exprimer la même chose.

Le cours

L'image d'un nombre x par une fonction f est le nombre de sortie associé à x ; on le note f(x) et on le lit « f de x ». Autrement dit, dans l'image de la machine à fonctions, l'image est ce qui sort lorsqu'on fait entrer le nombre x. Pour calculer l'image d'un nombre, on remplace la variable x par la valeur de ce nombre dans l'expression de la fonction, puis on effectue le calcul en respectant les priorités opératoires.

Par exemple, soit f la fonction définie par f(x) = 2x + 1. L'image de 3 se calcule ainsi : f(3) = 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7. On écrit alors f(3) = 7 et on dit que 7 est l'image de 3 par la fonction f. De même, l'image de 0 est f(0) = 2 × 0 + 1 = 1. Un point fondamental : tout nombre d'entrée possède une seule image. Connaissant l'entrée, la sortie est entièrement déterminée, il n'y a pas d'ambiguïté.

Calculer une image, c'est donc parcourir la fonction dans le sens direct : on part de l'entrée x (connue) pour obtenir la sortie f(x). Les phrases « l'image de 3 est 7 », « f(3) = 7 » et « pour x = 3, f(x) vaut 7 » expriment toutes le même résultat. Savoir calculer une image est une compétence de base, indispensable pour remplir un tableau de valeurs ou placer un point sur la courbe d'une fonction.

Les erreurs fréquentes

Pour trouver l'image de 3 avec f(x) = 2x + 1, on ajoute simplement 3 au résultat ou on écrit 2 + 3 + 1.

Il faut remplacer x par 3 partout dans l'expression : f(3) = 2 × 3 + 1, donc 2 est multiplié par 3, ce qui donne 6, puis + 1 = 7. On ne change pas l'opération : x était multiplié par 2, donc on multiplie 3 par 2.

Un nombre peut avoir plusieurs images différentes par une même fonction.

Non : un nombre d'entrée a toujours UNE SEULE image. Quand l'entrée est fixée, la sortie f(x) est unique. (Ce sont les antécédents qui peuvent être plusieurs, pas les images.)

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire l'image f(x) comme le nombre de sortie associé à l'entrée x.
• Calculer l'image d'un nombre en remplaçant x par sa valeur dans l'expression de la fonction.
• Savoir qu'un nombre d'entrée possède une seule image, et l'écrire sous la forme f(a) = b.

Vérifie que tu as compris

1. Pour la fonction f(x) = 2x + 1, l'image de 3 est :

   Réponse 7

   On remplace x par 3 : f(3) = 2×3 + 1 = 6 + 1 = 7.

2. Pour la fonction g(x) = x², l'image de −3 est :

   Réponse 9

   g(−3) = (−3)² = 9 : le carré d'un nombre négatif est positif.

3. Soit h la fonction définie par h(x) = 20 − 3x. Le nombre h(2) vaut :

   Réponse 14

   On remplace x par 2 : h(2) = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. On multiplie AVANT de soustraire : (20 − 3) × 2 = 34 serait faux, et oublier le signe donnerait 20 + 6 = 26.