Le tableau de valeurs — 3ᵉ

En une phrase

Le tableau de valeurs, c'est un tableau à deux lignes : en haut tu mets les nombres d'entrée x, en bas le résultat f(x) de la machine pour chaque x. Chaque colonne relie un x à son image.

Comprendre

Une fonction, c'est une machine : tu lui donnes un nombre d'entrée x et elle te renvoie un seul nombre de sortie f(x). Pour garder une trace de plusieurs entrées et de leurs sorties, on les range dans un tableau de valeurs. Ce tableau a deux lignes.

Sur la ligne du haut, on écrit les nombres d'entrée, les x. Sur la ligne du bas, juste en dessous, on écrit la sortie correspondante, l'image f(x). L'important, c'est de bien lire en colonnes : un x de la ligne du haut et le nombre placé juste en dessous forment un couple (entrée ; sortie).

Grâce à ce rangement, le tableau te sert à lire deux choses. D'abord une image : tu repères un x sur la ligne du haut, tu descends dans sa colonne, et tu lis f(x) sur la ligne du bas. Ensuite un antécédent : c'est l'inverse, tu pars d'une sortie connue sur la ligne du bas, tu remontes dans sa colonne, et tu lis le x correspondant sur la ligne du haut.

Un même nombre peut d'ailleurs apparaître plusieurs fois sur la ligne du bas : une sortie peut donc avoir plusieurs antécédents, alors qu'un x n'a toujours qu'une seule image. Retiens donc : haut = entrées (x), bas = sorties (f(x)), et on lit toujours par colonnes.

Le cours

Le tableau de valeurs d'une fonction est un outil qui associe des nombres d'entrée à leurs nombres de sortie. Il se présente sous la forme d'un tableau à deux lignes. La première ligne, celle du haut, contient les valeurs de la variable, c'est-à-dire les nombres d'entrée notés x.

La seconde ligne, celle du bas, contient pour chaque x l'image correspondante, notée f(x), c'est-à-dire le résultat renvoyé par la fonction. La lecture se fait colonne par colonne : dans une même colonne, le nombre du haut et le nombre du bas forment un couple (entrée ; sortie) de la fonction. Ce tableau permet deux usages essentiels.

Pour lire l'image d'un nombre, on repère ce nombre sur la ligne du haut, on descend dans sa colonne et on lit la valeur écrite sur la ligne du bas : c'est l'image. Pour trouver un antécédent d'un nombre, on procède dans l'autre sens : on cherche ce nombre sur la ligne du bas (les sorties), on remonte dans sa colonne et on lit la valeur de la ligne du haut : c'est un antécédent. Il faut être vigilant car une fonction associe à chaque entrée une seule sortie (chaque x a une unique image), mais une même sortie peut correspondre à plusieurs entrées : un nombre peut donc avoir plusieurs antécédents, qui se lisent dans toutes les colonnes où il apparaît sur la ligne du bas.

Le tableau de valeurs est ainsi une façon compacte de décrire une fonction et de lire rapidement images et antécédents, sans avoir à refaire les calculs.

Les erreurs fréquentes

On lit le tableau en lignes : on prend un x sur la ligne du haut et un f(x) qui n'est pas dans la même colonne.

On lit toujours par colonnes : l'image d'un x est le nombre placé juste en dessous de lui, dans la même colonne (entrée en haut, sortie en bas).

On confond image et antécédent : on cherche l'antécédent sur la ligne du haut au lieu de la ligne du bas.

L'image se lit sur la ligne du bas (on part d'un x en haut), l'antécédent se trouve en partant d'une sortie sur la ligne du bas pour remonter au x de la ligne du haut.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire un tableau de valeurs : ligne du haut = entrées x, ligne du bas = sorties f(x), lecture par colonnes.
• Lire l'image d'un nombre dans un tableau en descendant depuis la ligne du haut vers la ligne du bas.
• Trouver un antécédent d'un nombre dans un tableau en partant de la ligne du bas pour remonter à la ligne du haut.

Vérifie que tu as compris

1. Dans un tableau de valeurs, si à x = 4 correspond 10, alors :

   Réponse l'image de 4 est 10

   x = 4 est l'entrée, 10 est la sortie : l'image de 4 est 10 (et 4 est un antécédent de 10).

2. Un tableau donne f(2) = 6 et f(5) = 15. Cette fonction peut être :

   Réponse linéaire f(x) = 3x

   6 / 2 = 3 et 15 / 5 = 3 : le rapport f(x)/x est constant (= 3), donc f(x) = 3x est linéaire.

3. Le tableau de valeurs d'une fonction indique : à −2 correspond 5, à 0 correspond 1, à 3 correspond 5. Combien 5 a-t-il d'antécédents dans ce tableau ?

   Réponse 2

   On cherche 5 sur la ligne du bas (les sorties) : il apparaît deux fois, dans la colonne de −2 et dans celle de 3. Le nombre 5 a donc deux antécédents, −2 et 3. Une sortie peut avoir plusieurs antécédents, alors qu'une entrée n'a qu'une seule image.