L'antécédent d'un nombre

En une phrase

L'antécédent, c'est l'ENTRÉE qu'on cherche quand on connaît la sortie. On fait marche arrière dans la machine : on résout f(x) = nombre. Pour f(x) = 2x + 1, l'antécédent de 7 vérifie 2x + 1 = 7, donc x = 3.

Comprendre

Chercher un antécédent, c'est faire le travail à l'envers de l'image. Pour l'image, tu connais l'entrée et tu cherches la sortie. Pour l'antécédent, c'est le contraire : tu connais la sortie (un nombre qui est ressorti de la machine) et tu cherches quelle entrée a pu la produire.

Un antécédent d'un nombre k par la fonction f est donc un nombre x tel que f(x) = k. Pour le trouver, on pose l'équation f(x) = k et on la résout. Par exemple, avec f(x) = 2x + 1, cherchons l'antécédent de 7 : on écrit 2x + 1 = 7, puis on résout : 2x = 7 − 1 = 6, donc x = 6 ÷ 2 = 3. L'antécédent de 7 est 3, ce qui se vérifie car f(3) = 2 × 3 + 1 = 7. Attention à une grande différence avec l'image : un nombre a toujours une seule image, mais il peut avoir PLUSIEURS antécédents, un seul, ou même aucun.

Par exemple, avec une fonction comme f(x) = x², le nombre 9 a deux antécédents (3 et −3, car 3² = 9 et (−3)² = 9), et un nombre négatif n'a aucun antécédent. Retiens donc le sens : image = entrée connue → sortie ; antécédent = sortie connue → on remonte à l'entrée en résolvant une équation.

Le cours

Un antécédent d'un nombre k par une fonction f est un nombre d'entrée x dont l'image est k, c'est-à-dire un nombre x vérifiant f(x) = k. Chercher un antécédent revient à parcourir la fonction dans le sens inverse de l'image : on connaît la sortie k et on cherche la ou les entrées qui la produisent. La méthode est de poser l'équation f(x) = k, puis de la résoudre pour trouver x.

Par exemple, soit f la fonction définie par f(x) = 2x + 1. Pour déterminer l'antécédent de 7, on résout l'équation 2x + 1 = 7 : on retranche 1 dans chaque membre, 2x = 6, puis on divise par 2, x = 3. L'antécédent de 7 est donc 3, et on peut vérifier que f(3) = 2 × 3 + 1 = 7. Une différence importante avec l'image doit être bien comprise : un nombre possède toujours une seule image, mais il peut posséder plusieurs antécédents, un seul, ou aucun. Cela dépend de la fonction et du nombre considéré. Par exemple, pour la fonction carré définie par f(x) = x², le nombre 9 a deux antécédents, 3 et −3, tandis qu'un nombre strictement négatif n'a aucun antécédent.

Savoir chercher un antécédent est essentiel pour résoudre des problèmes : on s'en sert dès qu'on connaît un résultat et qu'on cherche la valeur d'entrée correspondante.

Les erreurs fréquentes

Chercher l'antécédent de 7 avec f(x) = 2x + 1, c'est calculer f(7) = 2 × 7 + 1 = 15.

Non : calculer f(7) donne l'IMAGE de 7, pas son antécédent. Pour l'antécédent de 7, on cherche l'entrée x telle que f(x) = 7 : on résout 2x + 1 = 7, ce qui donne x = 3.

Un nombre a toujours un seul antécédent, comme il a une seule image.

Faux : un nombre a une seule image, mais il peut avoir PLUSIEURS antécédents, un seul, ou aucun. Par exemple, par la fonction carré, 9 a deux antécédents (3 et −3) et un nombre négatif n'en a aucun.

Tu maîtrises la notion si…

• Identifier un antécédent d'un nombre comme une entrée x dont la sortie est ce nombre (f(x) = valeur).
• Déterminer un antécédent en posant et en résolvant l'équation f(x) = valeur.
• Distinguer image et antécédent : un nombre a une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).

Vérifie que tu as compris

1. Pour f(x) = 2x + 1, un antécédent de 7 est :

   Réponse 3

   On résout f(x) = 7 : 2x + 1 = 7 → 2x = 6 → x = 3.

2. Pour la fonction linéaire f(x) = 4x, l'antécédent de 10 est :

   Réponse 2,5

   On résout 4x = 10 → x = 10 / 4 = 2,5.

3. Résoudre l'équation 5x − 2 = 13 revient à chercher, pour la fonction f(x) = 5x − 2 :

   Réponse un antécédent de 13

   Chercher x tel que f(x) = 13, c'est chercher un antécédent de 13 : 5x − 2 = 13 donne 5x = 15 puis x = 3, et f(3) = 5 × 3 − 2 = 13. L'image se calcule dans l'autre sens : on connaît x et on calcule f(x).