Lire une image et un antécédent

En une phrase

Sur le graphique d'une fonction, pour lire l'image d'un nombre tu pars de ce nombre sur l'axe du bas (horizontal), tu rejoins la courbe puis tu lis la hauteur. Pour un antécédent, tu pars d'un nombre sur l'axe de gauche (vertical), tu rejoins la courbe puis tu lis en bas.

Comprendre

Une fois la courbe d'une fonction tracée, elle permet de lire des images et des antécédents sans aucun calcul, juste avec des déplacements horizontaux et verticaux. Pour lire l'IMAGE d'un nombre a, on part de a sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses, en bas), on monte (ou on descend) verticalement jusqu'à toucher la courbe, puis depuis ce point on se déplace horizontalement jusqu'à l'axe vertical pour lire l'ordonnée : ce nombre lu est l'image f(a). En résumé : pour une image, on part du bas et on finit par lire à gauche.

Pour trouver un ANTÉCÉDENT d'un nombre b, on fait exactement l'inverse : on part de b sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées, à gauche), on se déplace horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe, puis depuis ce point on descend (ou on monte) verticalement jusqu'à l'axe horizontal pour lire l'abscisse : ce nombre est un antécédent de b. Pour un antécédent, on part de la gauche et on finit par lire en bas. Le sens de lecture est donc la clé : image = de l'axe horizontal vers l'axe vertical ; antécédent = de l'axe vertical vers l'axe horizontal.

Attention, un nombre peut avoir plusieurs antécédents : si la droite horizontale partant de b coupe la courbe en plusieurs points, il y a plusieurs antécédents. En revanche, chaque a n'a qu'une seule image. Retiens le mouvement : pour l'image je pars du x en bas et je remonte ; pour l'antécédent je pars de la valeur à gauche et je redescends.

Le cours

La représentation graphique d'une fonction permet de lire directement les images et les antécédents par de simples lectures dans le repère. Pour lire l'image d'un nombre a, on procède ainsi : on repère a sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal), on se déplace verticalement (vers le haut ou vers le bas) jusqu'à atteindre la courbe, puis, à partir de ce point de la courbe, on se déplace horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées (l'axe vertical) où l'on lit la valeur : cette valeur est l'image de a, notée f(a). Le sens de lecture va donc de l'axe horizontal vers l'axe vertical.

Pour trouver un antécédent d'un nombre b, on suit le chemin inverse : on repère b sur l'axe des ordonnées (l'axe vertical), on se déplace horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe, puis, à partir de ce point, on se déplace verticalement jusqu'à l'axe des abscisses (l'axe horizontal) où l'on lit la valeur : cette valeur est un antécédent de b. Le sens de lecture va alors de l'axe vertical vers l'axe horizontal. Il faut prêter attention au nombre d'antécédents : la droite horizontale d'ordonnée b peut couper la courbe en plusieurs points, et chacun fournit alors un antécédent ; un nombre peut donc admettre zéro, un ou plusieurs antécédents.

À l'inverse, par définition d'une fonction, chaque nombre a admet une unique image. La lecture graphique est ainsi un outil rapide et puissant, à condition de ne pas confondre les deux sens de lecture : image = du bas vers la gauche, antécédent = de la gauche vers le bas.

Les erreurs fréquentes

On utilise le même sens de lecture pour l'image et l'antécédent, par exemple on part toujours de l'axe horizontal.

Les deux sens sont inverses : pour l'image on part de a sur l'axe horizontal et on lit l'ordonnée ; pour l'antécédent on part de b sur l'axe vertical et on lit l'abscisse.

On suppose qu'un nombre n'a toujours qu'un seul antécédent, comme pour l'image.

La droite horizontale d'ordonnée b peut couper la courbe en plusieurs points : un nombre peut avoir plusieurs antécédents (alors que chaque a n'a qu'une seule image).

Tu maîtrises la notion si…

• Lire l'image d'un nombre sur un graphique en partant de l'axe horizontal pour lire l'ordonnée sur l'axe vertical.
• Lire le ou les antécédents d'un nombre en partant de l'axe vertical pour lire l'abscisse sur l'axe horizontal.
• Distinguer les deux sens de lecture et reconnaître qu'un nombre peut avoir plusieurs antécédents.

Vérifie que tu as compris

1. Pour lire l'image de 2 sur un graphique, on part de :

   Réponse 2 sur l'axe horizontal et on rejoint la courbe

   Image : on part de x = 2 (axe des abscisses), on rejoint la courbe (vers le haut ou vers le bas), puis on lit l'ordonnée en face. Partir de l'axe vertical, c'est la démarche de l'ANTÉCÉDENT.

2. Pour lire un antécédent de 3 sur un graphique, on part de :

   Réponse 3 sur l'axe vertical et on rejoint la courbe

   Antécédent : on part de y = 3 (axe des ordonnées), on rejoint la courbe, puis on lit l'abscisse correspondante.

3. Sur la courbe de f, trois points différents ont pour ordonnée 4. Que peut-on dire du nombre 4 ?

   Réponse il a trois antécédents

   Ces trois points ont la même ordonnée 4 mais des abscisses différentes : chacune de ces abscisses x vérifie f(x) = 4. Le nombre 4 a donc trois antécédents. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents ; en revanche il n'a jamais qu'une seule image.