Proportionnalité et 4ᵉ proportionnelle — 3ᵉ

L'essentiel

Deux grandeurs sont PROPORTIONNELLES quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le MÊME nombre. Le prix des stylos est proportionnel à leur nombre : si un stylo coûte 1,50 €, alors 2 stylos coûtent 2 × 1,50 = 3 €, 3 stylos coûtent 3 × 1,50 = 4,50 €, etc. Ce nombre 1,50 (le prix d'un stylo) est le COEFFICIENT de proportionnalité.

On range souvent les données dans un TABLEAU : une ligne « nombre de stylos », une ligne « prix (€) ». Pour reconnaître un tableau de proportionnalité, on vérifie qu'on passe de la ligne du haut à la ligne du bas en multipliant TOUJOURS par le même coefficient. Souvent, on connaît trois valeurs et il en manque une : c'est la QUATRIÈME PROPORTIONNELLE.

Exemple : 3 stylos coûtent 4,50 €, combien coûtent 7 stylos ? On utilise le PRODUIT EN CROIX. On repère la diagonale toute connue : ici 4,50 (le prix de 3 stylos) et 7 (le nombre cherché).

On multiplie ces deux valeurs, puis on divise par la valeur restante : prix de 7 stylos = (4,50 × 7) ÷ 3 = 31,50 ÷ 3 = 10,50 €. On peut vérifier avec le coefficient : 4,50 ÷ 3 = 1,50 €/stylo, donc 7 × 1,50 = 10,50 €. Les deux méthodes donnent le même résultat.

Ce chapitre part de ce rappel de 4e, puis va plus loin avec les ratios et surtout les pourcentages d'évolution.

Comprendre

Ce concept réactive la proportionnalité vue au cycle 4, socle du chapitre. Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre par un COEFFICIENT constant. Dans un tableau de proportionnalité, chaque valeur de la ligne du bas s'obtient en multipliant la valeur du haut par ce même coefficient.

Reconnaître la proportionnalité, c'est vérifier que ce coefficient est constant. Le problème type est le calcul d'une QUATRIÈME PROPORTIONNELLE : trois valeurs connues, une inconnue. La méthode du PRODUIT EN CROIX consiste à multiplier les deux valeurs de la diagonale entièrement connue, puis à diviser par la troisième valeur.

Situation fil rouge : 3 stylos coûtent 4,50 €. Pour 7 stylos, on calcule (4,50 × 7) ÷ 3 = 31,50 ÷ 3 = 10,50 €. La vérification par le coefficient (prix d'un stylo = 4,50 ÷ 3 = 1,50 €, puis 7 × 1,50 = 10,50 €) confirme le résultat.

Points de vigilance : bien identifier la diagonale connue avant de multiplier, et ne pas confondre proportionnalité (coefficient constant) avec une simple relation additive.

Le cours

PROPORTIONNALITÉ ET QUATRIÈME PROPORTIONNELLE. GRANDEURS PROPORTIONNELLES. Deux grandeurs sont PROPORTIONNELLES lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par un même nombre appelé COEFFICIENT de proportionnalité.

Exemple : le prix payé est proportionnel au nombre de stylos achetés ; si un stylo coûte 1,50 €, le prix s'obtient en multipliant le nombre de stylos par 1,50. LE TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ. On présente souvent les données dans un tableau à deux lignes : par exemple « nombre de stylos » et « prix (€) ». Le tableau est un tableau de proportionnalité si l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant TOUJOURS par le même coefficient.

Sur l'exemple : 3 stylos → 4,50 € (car 3 × 1,50 = 4,50) ; le coefficient est 1,50 €/stylo. RECONNAÎTRE LA PROPORTIONNALITÉ. Pour vérifier qu'un tableau est proportionnel, on calcule le rapport de chaque valeur du bas sur la valeur du haut : s'ils sont tous égaux, il y a proportionnalité, et ce rapport commun est le coefficient.

LA QUATRIÈME PROPORTIONNELLE. Quand trois valeurs d'un tableau de proportionnalité sont connues et qu'il en manque une, cette valeur manquante s'appelle la quatrième proportionnelle. LE PRODUIT EN CROIX.

Pour la calculer, on repère la DIAGONALE entièrement connue, on multiplie ses deux valeurs, puis on divise par la troisième valeur connue. Exemple fil rouge : 3 stylos coûtent 4,50 € ; combien coûtent 7 stylos ? La diagonale connue est 4,50 (prix de 3 stylos) et 7 (nombre cherché) : prix = (4,50 × 7) ÷ 3 = 31,50 ÷ 3 = 10,50 €.

VÉRIFICATION PAR LE COEFFICIENT. Coefficient = 4,50 ÷ 3 = 1,50 €/stylo ; alors 7 × 1,50 = 10,50 €. Même résultat : les deux méthodes sont cohérentes.

Points de vigilance. (1) Bien repérer la diagonale connue avant de multiplier. (2) Diviser par la valeur qui reste, pas par n'importe laquelle. (3) La proportionnalité est MULTIPLICATIVE (coefficient constant), pas additive : ajouter 4 stylos n'ajoute pas 4 €, mais 4 × 1,50 = 6 €. À retenir : coefficient constant = proportionnalité ; quatrième proportionnelle = (produit de la diagonale connue) ÷ (troisième valeur) ; 3 stylos → 4,50 €, 7 stylos → 10,50 €.

Les erreurs fréquentes

On raisonne de façon additive : « de 3 à 7 stylos on ajoute 4, donc au prix on ajoute 4 € ».

La proportionnalité est MULTIPLICATIVE : on multiplie par un coefficient constant, on n'ajoute pas une constante. 3 stylos → 4,50 € donne un stylo à 1,50 € ; 7 stylos coûtent 7 × 1,50 = 10,50 €, pas 4,50 + 4 = 8,50 €.

Dans le produit en croix, on multiplie la mauvaise diagonale ou on divise par la mauvaise valeur.

On multiplie la diagonale entièrement CONNUE (ici 4,50 × 7 = 31,50), puis on divise par la troisième valeur connue (÷ 3). Résultat : 31,50 ÷ 3 = 10,50 €. Repérer d'abord la diagonale connue évite l'erreur.

On croit qu'un tableau est proportionnel sans vérifier que le coefficient est constant.

Il faut vérifier que TOUS les rapports (valeur du bas ÷ valeur du haut) sont égaux. Si 3 → 4,50 donne 1,50 mais 5 → 8 donne 1,60, le tableau n'est PAS proportionnel.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître un tableau de proportionnalité en vérifiant que le coefficient (rapport bas ÷ haut) est constant.
• Déterminer le coefficient de proportionnalité et l'utiliser pour compléter une colonne.
• Calculer une quatrième proportionnelle par le produit en croix : (diagonale connue) ÷ (troisième valeur).
• Sur le fil rouge, retrouver que 7 stylos coûtent (4,50 × 7) ÷ 3 = 10,50 €, cohérent avec le coefficient 1,50 €/stylo.

Vérifie que tu as compris

1. Comment reconnaît-on un tableau de proportionnalité ?

   Réponse on passe d'une ligne à l'autre en multipliant toujours par le même coefficient

   Un tableau est proportionnel si l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité. La relation est multiplicative, pas additive.

2. 3 stylos coûtent 4,50 €. Combien coûtent 7 stylos ?

   Réponse 10,50 €

   Produit en croix : (4,50 × 7) ÷ 3 = 31,50 ÷ 3 = 10,50 €. Vérification par le coefficient : 4,50 ÷ 3 = 1,50 €/stylo, puis 7 × 1,50 = 10,50 €.

3. Dans un tableau, 12 est associé à 20 et 18 est associé à 30. Est-ce une situation de proportionnalité ?

   Réponse Oui : 12 × 30 = 18 × 20

   Le produit en croix tranche : 12 × 30 = 360 et 18 × 20 = 360. Les produits croisés sont égaux, donc le tableau est proportionnel. On le confirme avec le coefficient : 20 ÷ 12 et 30 ÷ 18 valent tous deux 5/3. Le fait que les deux lignes augmentent ne suffit jamais à conclure, et les écarts (8 puis 12) n'ont pas à être égaux dans une situation multiplicative.