Enchaîner des évolutions successives

L'essentiel

Voici la vraie force du coefficient multiplicateur : il permet d'ENCHAÎNER facilement plusieurs évolutions. Quand une quantité subit plusieurs hausses ou baisses successives, on MULTIPLIE tous les coefficients entre eux pour obtenir le coefficient GLOBAL. Prenons le piège le plus célèbre : un prix augmente de 20 %, puis baisse de 20 %.

Beaucoup pensent qu'on revient au prix de départ. C'EST FAUX. Suivons 100 €.

Augmentation de 20 % : coefficient × 1,20 → 100 × 1,20 = 120 €. Puis baisse de 20 % : coefficient × 0,80 → mais attention, ces 20 % se calculent sur 120 €, pas sur 100 € ! 120 × 0,80 = 96 €. On n'obtient pas 100 € mais 96 €.

Pourquoi ? Parce que le coefficient global est 1,20 × 0,80 = 0,96, qui est INFÉRIEUR à 1 : c'est une baisse globale de 1 − 0,96 = 0,04 = 4 %. La raison profonde : la baisse de 20 % s'applique à une valeur plus grande (120 €) que la hausse de 20 % (partie de 100 €), donc la baisse « enlève » plus qu'elle n'avait ajouté.

Règle à retenir : pour des évolutions successives, on NE PEUT PAS ajouter les pourcentages (+ 20 % puis − 20 % ne fait pas 0 %) ; on multiplie les coefficients. Le coefficient global 0,96 dit tout : baisse de 4 %. Cet outil sert partout : deux hausses (× 1,10 × 1,05), une baisse puis une hausse, etc.

Comprendre

Ce concept est le sommet du chapitre : les ÉVOLUTIONS SUCCESSIVES. Règle centrale : pour enchaîner des évolutions, on MULTIPLIE leurs coefficients multiplicateurs (on n'additionne surtout pas les pourcentages). Le produit donne le coefficient GLOBAL, dont on lit le sens et l'ampleur par comparaison à 1. Exemple fil rouge, le piège classique : + 20 % puis − 20 %.

Coefficients : × 1,20 puis × 0,80. Coefficient global : 1,20 × 0,80 = 0,96, inférieur à 1 → baisse globale de 1 − 0,96 = 4 %. En suivant 100 € : 100 × 1,20 = 120 €, puis 120 × 0,80 = 96 €. On n'obtient pas 100 € mais 96 €.

La raison : la seconde évolution s'applique à une nouvelle valeur (120 €), pas à la valeur initiale ; la baisse de 20 % porte donc sur davantage que la hausse. Deux points clés : (1) additionner les pourcentages est FAUX (+ 20 % − 20 % ≠ 0 %) ; (2) le coefficient global se lit comme une évolution unique équivalente (0,96 = baisse de 4 %). Cet outil se généralise à toute suite d'évolutions (deux hausses, baisse puis hausse, etc.).

Le cours

ENCHAÎNER DES ÉVOLUTIONS SUCCESSIVES. LA RÈGLE : ON MULTIPLIE LES COEFFICIENTS. Quand une quantité subit plusieurs évolutions l'une après l'autre, chaque évolution se traduit par son coefficient multiplicateur.

Pour connaître l'effet global, on MULTIPLIE tous ces coefficients : coefficient global = coefficient 1 × coefficient 2 × … On applique ensuite ce coefficient global à la quantité de départ. LE PIÈGE CÉLÈBRE : + 20 % PUIS − 20 %.

Beaucoup croient qu'une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ramène au prix de départ. C'est FAUX. Coefficients : hausse de 20 % → × 1,20 ; baisse de 20 % → × 0,80. Coefficient global : 1,20 × 0,80 = 0,96. Comme 0,96 < 1, l'évolution globale est une BAISSE de 1 − 0,96 = 0,04 = 4 %.

SUIVI D'UN EXEMPLE CHIFFRÉ. Partons de 100 €. Après + 20 % : 100 × 1,20 = 120 €.

Après − 20 % (calculée sur 120 €, pas sur 100 €) : 120 × 0,80 = 96 €. On arrive à 96 €, pas à 100 €. POURQUOI PAS 100 €.

La baisse de 20 % s'applique à une valeur PLUS GRANDE (120 €) que celle sur laquelle la hausse avait porté (100 €). La baisse enlève donc plus (24 €) que la hausse n'avait ajouté (20 €), d'où une perte nette de 4 € sur 100, soit 4 %. ON N'ADDITIONNE PAS LES POURCENTAGES. + 20 % puis − 20 % ne donne PAS 0 %, mais − 4 %.

Pour des évolutions successives, il faut multiplier les coefficients, jamais ajouter les pourcentages. AUTRES EXEMPLES. Deux hausses successives de 10 % puis 5 % : × 1,10 × 1,05 = 1,155, soit une hausse globale de 15,5 % (pas 15 %).

Une baisse de 50 % puis une hausse de 50 % : × 0,50 × 1,50 = 0,75, soit une baisse globale de 25 %. Points de vigilance. (1) Multiplier les coefficients, ne jamais additionner les pourcentages. (2) Chaque évolution porte sur la valeur qui la précède, pas sur la valeur initiale. (3) Lire le coefficient global comme une évolution unique (0,96 → baisse de 4 %). À retenir : évolutions successives → produit des coefficients ; + 20 % puis − 20 % → × 1,20 × 0,80 = 0,96 → baisse de 4 % ; 100 € → 120 € → 96 €.

Les erreurs fréquentes

On additionne les pourcentages : + 20 % puis − 20 % « fait 0 % », donc on revient au prix de départ.

On ne peut pas additionner les pourcentages d'évolutions successives. On multiplie les coefficients : 1,20 × 0,80 = 0,96, soit une baisse globale de 4 %. Sur 100 € : 100 → 120 → 96 €, pas 100 €.

On applique la seconde évolution à la valeur de départ au lieu de la valeur intermédiaire.

Chaque évolution porte sur la valeur qui la précède. La baisse de 20 % se calcule sur 120 € (le prix après hausse), pas sur 100 € : 120 × 0,80 = 96 €. C'est pour cela que la baisse l'emporte sur la hausse.

On croit que l'ordre change le résultat, ou on lit mal le coefficient global.

La multiplication est commutative : × 1,20 × 0,80 = × 0,80 × 1,20 = 0,96, l'ordre ne change pas le coefficient global. Et 0,96 < 1 se lit comme une baisse de 1 − 0,96 = 4 %.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer le coefficient global d'évolutions successives en multipliant les coefficients.
• Montrer qu'une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % donne × 0,96, soit une baisse globale de 4 %.
• Suivre une valeur au fil des évolutions (100 € → 120 € → 96 €) et lire le coefficient global comme une évolution unique.
• Justifier qu'on multiplie les coefficients et qu'on n'additionne pas les pourcentages.

Vérifie que tu as compris

1. Pour enchaîner deux évolutions successives, que fait-on avec leurs coefficients multiplicateurs ?

   Réponse on les multiplie

   Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients pour obtenir le coefficient global. On n'additionne jamais les pourcentages : + 20 % puis − 20 % ne fait pas 0 %.

2. Un prix de 100 € augmente de 20 % puis baisse de 20 %. Quel est le prix final ?

   Réponse 96 € (baisse globale de 4 %)

   On multiplie les coefficients : 1,20 × 0,80 = 0,96. En suivant 100 € : 100 × 1,20 = 120 €, puis 120 × 0,80 = 96 €. Le coefficient global 0,96 correspond à une baisse globale de 4 %, car la baisse porte sur 120 €.

3. Deux remises successives de 10 % puis de 20 % s'appliquent à un article. Par quel coefficient son prix est-il multiplié en tout ?

   Réponse × 0,72

   Chaque remise a son coefficient : 1 − 0,10 = 0,90 et 1 − 0,20 = 0,80. Pour enchaîner, on MULTIPLIE : 0,90 × 0,80 = 0,72. La baisse globale vaut donc 1 − 0,72 = 0,28, soit 28 % et non 30 % : additionner les pourcentages (× 0,70) est faux, tout comme additionner les coefficients (× 1,70).