Diminution et retrouver l'évolution

L'essentiel

Après les hausses, voici les baisses. DIMINUER une quantité de t %, c'est lui RETIRER t % d'elle-même. Comme pour les hausses, on utilise un COEFFICIENT MULTIPLICATEUR, mais cette fois plus petit que 1 : diminuer de t % revient à multiplier par (1 − t/100).

Le « 1 » représente la quantité de départ (100 %), et on RETIRE t/100. Exemple : diminuer de 15 %, c'est multiplier par 1 − 0,15 = 0,85. Un article à 200 € qui baisse de 15 % vaut donc 200 × 0,85 = 170 €. Vérification en deux étapes : 15 % de 200 = 200 × 0,15 = 30 € (la baisse), puis 200 − 30 = 170 €. Même résultat.

Quelques repères : − 10 % → × 0,90 ; − 25 % → × 0,75 ; − 50 % → × 0,50. Idée nouvelle et très utile : on peut faire le chemin INVERSE, c'est-à-dire RETROUVER l'évolution à partir du coefficient. Si un coefficient est INFÉRIEUR à 1, il s'agit d'une baisse ; s'il est SUPÉRIEUR à 1, d'une hausse. On lit l'écart au 1 : un coefficient de 0,75 → 1 − 0,75 = 0,25 → baisse de 25 % ; un coefficient de 1,08 → 1,08 − 1 = 0,08 → hausse de 8 %.

Attention : diminuer de 15 % n'est pas multiplier par 0,15 (ça garderait seulement 15 % !) : c'est multiplier par 0,85, ce qui garde 85 % de la valeur.

Comprendre

Ce concept complète le précédent avec les BAISSES et le passage inverse coefficient ↔ pourcentage. DIMINUER de t % = multiplier par (1 − t/100), un coefficient plus petit que 1. Le « 1 » garde la quantité de départ, on en retire t/100. Exemple fil rouge : − 15 % → coefficient 1 − 0,15 = 0,85 ; 200 € qui baissent de 15 % valent 200 × 0,85 = 170 €. Cohérence en deux temps : 15 % de 200 = 30 €, puis 200 − 30 = 170 €.

Point nouveau essentiel : RETROUVER l'évolution à partir d'un coefficient. Coefficient < 1 → baisse (on lit 1 − coefficient) ; coefficient > 1 → hausse (on lit coefficient − 1). Ainsi 0,75 → baisse de 25 % (1 − 0,75 = 0,25) et 1,08 → hausse de 8 % (1,08 − 1 = 0,08).

Points de vigilance : ne pas confondre « diminuer de 15 % » (× 0,85, on garde 85 %) et « multiplier par 0,15 » (on ne garde que 15 %) ; et bien lire le sens du coefficient par comparaison à 1.

Le cours

DIMINUTION EN POURCENTAGE ET RETROUVER L'ÉVOLUTION. DIMINUER DE t %. Diminuer une quantité de t %, c'est lui retirer t % d'elle-même.

LE COEFFICIENT MULTIPLICATEUR D'UNE BAISSE. Diminuer de t % revient à multiplier par (1 − t/100). Le « 1 » garde la quantité de départ (100 %), et on en retire t/100. Ce coefficient est toujours INFÉRIEUR à 1. Exemples : − 15 % → × (1 − 0,15) = × 0,85 ; − 10 % → × 0,90 ; − 25 % → × 0,75 ; − 50 % → × 0,50. EXEMPLE FIL ROUGE.

Un article coûte 200 € et baisse de 15 %. Coefficient : 1 − 0,15 = 0,85. Nouveau prix : 200 × 0,85 = 170 €. VÉRIFICATION EN DEUX ÉTAPES.

Baisse : 15 % de 200 = 200 × 0,15 = 30 €. Nouveau prix : 200 − 30 = 170 €. Même résultat : le coefficient 0,85 garde 85 % de la valeur.

RETROUVER L'ÉVOLUTION À PARTIR DU COEFFICIENT. On peut lire le sens et l'ampleur d'une évolution directement sur son coefficient. Si le coefficient est INFÉRIEUR à 1, c'est une BAISSE : l'ampleur est 1 − coefficient.

Si le coefficient est SUPÉRIEUR à 1, c'est une HAUSSE : l'ampleur est coefficient − 1. Exemples : coefficient 0,75 → 1 − 0,75 = 0,25 → baisse de 25 % ; coefficient 1,08 → 1,08 − 1 = 0,08 → hausse de 8 %. Points de vigilance. (1) « Diminuer de 15 % » = × 0,85 (on garde 85 %), PAS × 0,15 (qui ne garderait que 15 %). (2) Un coefficient < 1 est une baisse, un coefficient > 1 une hausse : comparer au 1. (3) L'ampleur se lit comme l'écart au 1. À retenir : diminuer de t % = × (1 − t/100) ; − 15 % → × 0,85 ; 200 € → 170 € ; 0,75 = baisse de 25 %, 1,08 = hausse de 8 %.

Les erreurs fréquentes

On confond « diminuer de 15 % » avec « multiplier par 0,15 ».

Multiplier par 0,15 ne garde que 15 % de la quantité (une énorme baisse de 85 %). Diminuer de 15 % garde 85 % : coefficient 1 − 0,15 = 0,85. Pour 200 € : 200 × 0,85 = 170 €, pas 30 €.

On se trompe de sens en lisant un coefficient : on prend 0,75 pour une hausse ou 1,08 pour une baisse.

Un coefficient INFÉRIEUR à 1 est une baisse (0,75 → baisse de 1 − 0,75 = 25 %) ; un coefficient SUPÉRIEUR à 1 est une hausse (1,08 → hausse de 1,08 − 1 = 8 %). On compare toujours au nombre 1.

Pour retrouver l'évolution, on lit directement les décimales du coefficient sans les comparer à 1 (par exemple 0,85 lu comme « 85 % de baisse »).

L'ampleur est l'ÉCART au 1. Pour 0,85 : 1 − 0,85 = 0,15, soit une baisse de 15 % (et non 85 %). Le coefficient 0,85 signifie qu'on garde 85 %, donc qu'on a retiré 15 %.

Tu maîtrises la notion si…

• Écrire le coefficient multiplicateur d'une baisse de t % sous la forme (1 − t/100).
• Appliquer une diminution : 200 € diminué de 15 % donne 200 × 0,85 = 170 €.
• Retrouver l'évolution correspondant à un coefficient : 0,75 → baisse de 25 %, 1,08 → hausse de 8 %.
• Distinguer un coefficient de baisse (< 1) d'un coefficient de hausse (> 1) en le comparant à 1.

Vérifie que tu as compris

1. Diminuer une quantité de 15 % revient à la multiplier par quel coefficient ?

   Réponse × 0,85

   Diminuer de t % revient à multiplier par (1 − t/100). Pour − 15 % : 1 − 0,15 = 0,85. On garde 85 % de la valeur (on en retire 15 %).

2. À quelle évolution correspond un coefficient multiplicateur de 0,75 ?

   Réponse une baisse de 25 %

   Un coefficient inférieur à 1 correspond à une baisse, d'ampleur 1 − coefficient. Ici 1 − 0,75 = 0,25 = 25 %. Le coefficient 0,75 signifie qu'on garde 75 % de la valeur.

3. Le nombre de visiteurs d'un musée a été multiplié par 1,08 en un an. Quelle évolution cela représente-t-il ?

   Réponse une hausse de 8 %

   On compare toujours le coefficient au nombre 1 : ici 1,08 est supérieur à 1, c'est donc une hausse, et son ampleur est l'écart au 1, soit 1,08 − 1 = 0,08 = 8 %. Une hausse de 108 % correspondrait au coefficient 2,08, et une baisse de 8 % au coefficient 0,92.