Pourcentage et coefficient d'augmentation

L'essentiel

Un POURCENTAGE est une façon d'exprimer une part sur 100. Calculer t % d'une quantité, c'est la multiplier par t/100 : par exemple, 20 % de 50 € = 50 × 20/100 = 50 × 0,20 = 10 €. Maintenant, une idée très pratique pour les hausses de prix. AUGMENTER une quantité de t %, c'est lui AJOUTER t % d'elle-même.

Un raccourci évite deux calculs : au lieu de calculer la hausse puis de l'ajouter, on multiplie directement par le COEFFICIENT MULTIPLICATEUR (1 + t/100). Le « 1 » représente la quantité de départ (100 %), et le « t/100 » la hausse. Exemple : augmenter de 20 %, c'est multiplier par 1 + 0,20 = 1,20. Un article à 50 € qui augmente de 20 % vaut donc 50 × 1,20 = 60 €.

On peut vérifier avec les deux étapes : 20 % de 50 = 10 € ; 50 + 10 = 60 €. Même résultat, mais le coefficient 1,20 va beaucoup plus vite, surtout pour enchaîner plusieurs évolutions (on le verra plus loin). Quelques coefficients à connaître : + 5 % → × 1,05 ; + 10 % → × 1,10 ; + 50 % → × 1,50. Attention : « augmenter de 20 % » ne veut pas dire « multiplier par 0,20 » (ça donnerait une baisse !) ni « ajouter 20 € » ; c'est bien multiplier par 1,20.

Comprendre

Ce concept installe l'outil central du chapitre : le COEFFICIENT MULTIPLICATEUR pour les évolutions. Deux idées. (1) Appliquer un pourcentage t % à une quantité = multiplier par t/100 (20 % de 50 = 50 × 0,20 = 10). (2) AUGMENTER de t % = multiplier par (1 + t/100). Le coefficient réunit en un seul nombre « la quantité initiale (100 % = 1) plus la hausse (t/100) ».

Exemple fil rouge : + 20 % → coefficient 1 + 0,20 = 1,20 ; un article à 50 € augmenté de 20 % vaut 50 × 1,20 = 60 €. Cohérence avec la méthode en deux temps : 20 % de 50 = 10 €, puis 50 + 10 = 60 €. L'avantage du coefficient est décisif pour enchaîner des évolutions (concept 5).

Points de vigilance : ne pas confondre « prendre 20 % » (× 0,20) et « augmenter de 20 % » (× 1,20) ; et bien construire le coefficient comme 1 + t/100, avec t exprimé en centièmes (20 % = 0,20).

Le cours

POURCENTAGE D'UNE QUANTITÉ ET COEFFICIENT D'AUGMENTATION. APPLIQUER UN POURCENTAGE. Un pourcentage t % représente t centièmes.

Calculer t % d'une quantité, c'est la MULTIPLIER par t/100. Exemple : 20 % de 50 € = 50 × 20/100 = 50 × 0,20 = 10 €. AUGMENTER DE t %. Augmenter une quantité de t %, c'est lui ajouter t % d'elle-même.

On peut le faire en deux étapes (calculer la hausse, puis l'ajouter), ou plus vite en une seule multiplication grâce au COEFFICIENT MULTIPLICATEUR. LE COEFFICIENT MULTIPLICATEUR D'UNE HAUSSE. Augmenter de t % revient à multiplier par (1 + t/100).

Le « 1 » correspond à la quantité de départ (100 %) qu'on conserve, et le « t/100 » à ce qu'on ajoute. Exemples : + 20 % → × (1 + 0,20) = × 1,20 ; + 5 % → × 1,05 ; + 50 % → × 1,50. EXEMPLE FIL ROUGE. Un article coûte 50 € et augmente de 20 %.

Coefficient : 1 + 0,20 = 1,20. Nouveau prix : 50 × 1,20 = 60 €. VÉRIFICATION EN DEUX ÉTAPES. Hausse : 20 % de 50 = 50 × 0,20 = 10 €.

Nouveau prix : 50 + 10 = 60 €. On retrouve le même résultat : le coefficient 1,20 fait les deux opérations d'un coup. POURQUOI UTILISER LE COEFFICIENT.

Il permet d'aller vite, de traiter aussi les diminutions (concept suivant) et surtout d'ENCHAÎNER plusieurs évolutions en multipliant les coefficients (dernier concept). Points de vigilance. (1) « Augmenter de 20 % » = × 1,20, PAS × 0,20 (qui serait une forte baisse). (2) Bien écrire le coefficient 1 + t/100 avec t/100 en écriture décimale (20 % = 0,20). (3) Le pourcentage porte sur la quantité de départ. À retenir : t % d'une quantité = × t/100 ; augmenter de t % = × (1 + t/100) ; + 20 % → × 1,20 ; 50 € → 60 €.

Les erreurs fréquentes

On confond « augmenter de 20 % » avec « multiplier par 0,20 ».

Multiplier par 0,20 donne 20 % de la quantité (une forte BAISSE). Augmenter de 20 % conserve la quantité (100 %) et ajoute 20 % : coefficient 1 + 0,20 = 1,20. Pour 50 € : 50 × 1,20 = 60 €.

On oublie le « 1 » dans le coefficient, ou on ajoute un montant fixe (+ 20 €) au lieu d'un pourcentage.

Le coefficient d'une hausse de t % est (1 + t/100), avec le 1 qui garde la quantité de départ. + 20 % de 50 € ajoute 20 % de 50 = 10 €, pas 20 € : le nouveau prix est 60 €, pas 70 €.

On calcule le pourcentage sur la mauvaise valeur (par exemple sur le prix d'arrivée au lieu du prix de départ).

Le pourcentage d'augmentation porte sur la quantité de DÉPART. Ici 20 % se calcule sur 50 € (la valeur initiale) : 50 × 0,20 = 10 €, d'où 60 €.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer t % d'une quantité en multipliant par t/100.
• Écrire le coefficient multiplicateur d'une hausse de t % sous la forme (1 + t/100).
• Appliquer une augmentation : 50 € augmenté de 20 % donne 50 × 1,20 = 60 €.
• Vérifier le résultat par la méthode en deux étapes (calcul de la hausse puis addition).

Vérifie que tu as compris

1. Augmenter une quantité de 20 % revient à la multiplier par quel coefficient ?

   Réponse × 1,20

   Augmenter de t % revient à multiplier par (1 + t/100). Pour + 20 % : 1 + 0,20 = 1,20. Le « 1 » garde la quantité de départ, le « 0,20 » ajoute la hausse.

2. Un article coûte 50 € et augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix ?

   Réponse 60 €

   Coefficient : 1 + 0,20 = 1,20 ; nouveau prix : 50 × 1,20 = 60 €. Vérification : 20 % de 50 = 10 €, puis 50 + 10 = 60 €. Ce n'est ni 50 × 0,20 = 10 € ni 50 + 20 = 70 €.

3. Un forfait de 480 € comporte 12 % de taxes. Quel est le montant des taxes ?

   Réponse 57,60 €

   Prendre 12 % d'une quantité, c'est la multiplier par 12/100 = 0,12 : 480 × 0,12 = 57,60 €. Diviser par 12 (40 €) reviendrait à prendre le douzième, pas 12 % ; 5,76 € est dix fois trop petit (× 0,012) ; et 537,60 € est le forfait taxes comprises, c'est-à-dire 480 × 1,12, donc une augmentation, pas le montant de la taxe.