Probabilités et fréquences

En une phrase

Si tu répètes une expérience beaucoup de fois, la fréquence (proportion) d'un événement se rapproche de sa probabilité : c'est le lien entre fréquence et probabilité. Et pour l'événement contraire (« ne pas obtenir A »), il suffit de faire 1 moins la probabilité de A.

Comprendre

Ce concept relie deux idées : la fréquence observée sur beaucoup d'essais et la probabilité théorique, ainsi que la notion d'événement contraire. Premier lien : quand on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d'un événement (le nombre de fois où il se réalise divisé par le nombre d'essais) se stabilise et se rapproche de sa probabilité. C'est ce qu'on appelle la loi des grands nombres.

Par exemple, en lançant une pièce équilibrée, la fréquence de « pile » sur 10 lancers peut être 0,3 ou 0,7 (loin de 0,5), mais sur 1000 lancers elle sera très proche de 0,5, la probabilité de « pile ». C'est d'ailleurs ce qui permet d'estimer une probabilité inconnue par expérimentation. Deuxième idée : l'événement contraire d'un événement A, noté « non A », est réalisé exactement quand A ne l'est pas.

Comme A et son contraire couvrent toutes les issues sans se chevaucher, leurs probabilités s'ajoutent à 1 : P(A) + P(non A) = 1, donc P(non A) = 1 − P(A). Par exemple, si la probabilité d'obtenir un nombre pair au dé est 1/2, la probabilité d'obtenir un nombre impair (le contraire) est 1 − 1/2 = 1/2. Si la probabilité de gagner à un jeu est 0,2, la probabilité de perdre est 1 − 0,2 = 0,8. Cette relation évite de longs calculs quand le contraire est plus simple à compter. L'erreur fréquente est de confondre fréquence et probabilité sur un petit nombre d'essais, ou d'oublier le « 1 − » pour l'événement contraire.

Le cours

Ce concept fait le pont entre la statistique (fréquences observées) et les probabilités (valeurs théoriques), et introduit l'événement contraire. Premier point : le lien entre fréquence et probabilité. La fréquence d'un événement lors d'une série d'expériences est le nombre de fois où il se réalise divisé par le nombre total d'essais.

Sur un petit nombre d'essais, cette fréquence peut être assez éloignée de la probabilité théorique. Mais lorsque le nombre d'essais devient très grand, la fréquence observée se rapproche de la probabilité de l'événement : c'est la loi des grands nombres, admise en classe de troisième. Par exemple, la probabilité d'obtenir « pile » avec une pièce équilibrée est 0,5 ; sur 20 lancers on peut obtenir une fréquence de 0,4, mais sur 10 000 lancers la fréquence sera très proche de 0,5. Ce principe permet d'estimer expérimentalement une probabilité difficile à calculer : on répète l'expérience un grand nombre de fois et on prend la fréquence observée comme estimation.

Deuxième point : l'événement contraire. L'événement contraire de A, souvent noté « non A », est l'événement qui se réalise exactement lorsque A ne se réalise pas. Toute issue réalise soit A, soit son contraire, jamais les deux : on dit qu'ils sont complémentaires.

Par conséquent, la somme de leurs probabilités vaut 1 : P(A) + P(non A) = 1, ce qui donne la formule très utile P(non A) = 1 − P(A). Par exemple, si P(obtenir un roi) = 4/32 = 1/8 dans un jeu de 32 cartes, alors P(ne pas obtenir de roi) = 1 − 1/8 = 7/8. Cette relation simplifie beaucoup de calculs lorsqu'il est plus facile de compter le contraire. Les erreurs courantes sont de croire que la fréquence égale toujours la probabilité (faux sur peu d'essais) et d'oublier de soustraire à 1 pour l'événement contraire.

Les erreurs fréquentes

On pense que la fréquence observée d'un événement est toujours exactement égale à sa probabilité, même sur un petit nombre d'essais.

La fréquence n'égale la probabilité qu'approximativement, et seulement quand le nombre d'essais est grand (loi des grands nombres) : sur 10 lancers de pièce, la fréquence de pile peut valoir 0,3 alors que la probabilité est 0,5.

Pour calculer la probabilité de l'événement contraire, on oublie le « 1 − » et on redonne la probabilité de départ.

La probabilité de l'événement contraire est P(non A) = 1 − P(A) : si P(A) = 0,2, alors P(non A) = 1 − 0,2 = 0,8, et non 0,2.

Tu maîtrises la notion si…

• Relier la fréquence observée d'un événement à sa probabilité quand le nombre d'essais est grand (loi des grands nombres).
• Comprendre qu'on peut estimer une probabilité par la fréquence sur un grand nombre d'expériences.
• Calculer la probabilité de l'événement contraire avec P(non A) = 1 − P(A).

Vérifie que tu as compris

1. En répétant une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence d'un événement :

   Réponse se rapproche de sa probabilité

   C'est la loi des grands nombres : plus il y a d'essais, plus la fréquence observée approche la probabilité.

2. Si la probabilité de gagner à un jeu est 0,2, la probabilité de perdre est :

   Réponse 0,8

   Perdre est l'événement contraire de gagner : P(perdre) = 1 − P(gagner) = 1 − 0,2 = 0,8.

3. Sur 500 pièces contrôlées en sortie d'usine, 15 sont défectueuses. On estime la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse à :

   Réponse 0,03

   Sur un grand nombre d'essais, la fréquence observée sert d'estimation de la probabilité : 15/500 = 0,03, soit 3 %. C'est la loi des grands nombres qui le justifie. Diviser 500 par 15 inverse le rapport et donne 33,33, qui ne peut pas être une probabilité.