Effectifs, fréquences et moyenne

L'essentiel

Quand tu as une série de données, l'effectif d'une valeur te dit combien de fois elle revient. La fréquence, c'est cet effectif partagé par le nombre total de données (souvent écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage). La moyenne, c'est la somme de toutes les valeurs divisée par combien il y en a : c'est la valeur « d'équilibre » de la série.

Comprendre

Pour résumer une série statistique, on utilise trois outils complémentaires. D'abord l'effectif : c'est simplement le nombre de fois où une valeur apparaît dans la série. Si dans une classe cinq élèves ont eu 12, l'effectif de la note 12 vaut 5. L'effectif total est le nombre total de données.

Ensuite la fréquence d'une valeur : c'est son effectif divisé par l'effectif total, f = effectif / effectif total. Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1, et la somme des fréquences de toutes les valeurs vaut 1. On peut l'exprimer en fraction (5/20), en décimal (0,25) ou en pourcentage (25 %). Enfin la moyenne : c'est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre.

Quand les données sont regroupées dans un tableau d'effectifs, on utilise la moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne tout, puis on divise par l'effectif total. Par exemple, pour des notes 8 (effectif 2), 12 (effectif 5) et 16 (effectif 3) sur 10 élèves, la moyenne vaut (8 × 2 + 12 × 5 + 16 × 3) / 10 = (16 + 60 + 48) / 10 = 124 / 10 = 12,4. La moyenne est un indicateur de position : elle indique autour de quelle valeur la série se répartit. Attention à bien diviser par l'effectif total (le nombre de données), et non par le nombre de valeurs différentes.

Le cours

Une série statistique est un ensemble de données recueillies, par exemple les notes d'une classe ou les tailles des élèves. Pour la décrire, on commence par organiser les données dans un tableau d'effectifs. L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série ; l'effectif total, souvent noté N, est le nombre total de données.

La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total : f = effectif de la valeur / effectif total. Comme l'effectif d'une valeur est au plus égal à l'effectif total, une fréquence est toujours un nombre compris entre 0 et 1, et la somme de toutes les fréquences d'une série vaut exactement 1 (soit 100 %). On peut écrire une fréquence sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : par exemple 5/20 = 0,25 = 25 %.

La moyenne d'une série est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre. Lorsque les données sont présentées dans un tableau d'effectifs, on calcule la moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne ces produits, puis on divise la somme obtenue par l'effectif total. Ainsi, pour des notes 8 ; 12 ; 16 d'effectifs respectifs 2 ; 5 ; 3, la moyenne est (8 × 2 + 12 × 5 + 16 × 3) / (2 + 5 + 3) = 124 / 10 = 12,4. La moyenne est un indicateur de position : elle résume la série par une valeur centrale.

Elle est sensible aux valeurs extrêmes, contrairement à la médiane. Les erreurs les plus fréquentes sont d'oublier les effectifs dans le calcul de la moyenne pondérée, ou de diviser par le nombre de valeurs différentes au lieu de l'effectif total.

Les erreurs fréquentes

Pour la moyenne, on additionne seulement les valeurs différentes sans tenir compte des effectifs, par exemple (8 + 12 + 16) / 3 au lieu de la moyenne pondérée.

Chaque valeur doit être comptée autant de fois que son effectif : la moyenne pondérée est (8 × 2 + 12 × 5 + 16 × 3) / 10 = 12,4, et non (8 + 12 + 16) / 3 = 12.

On divise par le nombre de valeurs différentes au lieu de diviser par l'effectif total (le nombre total de données).

Le dénominateur de la moyenne et de la fréquence est toujours l'effectif total N (ici 2 + 5 + 3 = 10), c'est-à-dire le nombre de données, pas le nombre de valeurs distinctes.

Tu maîtrises la notion si…

• Déterminer l'effectif d'une valeur et l'effectif total d'une série.
• Calculer une fréquence comme effectif / effectif total et l'exprimer en décimal ou en pourcentage.
• Calculer une moyenne pondérée à partir d'un tableau d'effectifs en divisant par l'effectif total.

Vérifie que tu as compris

1. La fréquence d'une valeur dans une série est égale à :

   Réponse son effectif divisé par l'effectif total

   La fréquence f = effectif de la valeur / effectif total. C'est toujours un nombre compris entre 0 et 1.

2. Notes 8 (effectif 2), 12 (effectif 5), 16 (effectif 3) sur 10 élèves : la moyenne vaut :

   Réponse 12,4

   Moyenne pondérée = (8×2 + 12×5 + 16×3)/10 = (16+60+48)/10 = 124/10 = 12,4.

3. Un club compte 80 licenciés, dont 28 juniors. La fréquence des juniors, exprimée en pourcentage, vaut :

   Réponse 35 %

   Fréquence = effectif de la valeur / effectif total = 28/80 = 0,35. En pourcentage : 0,35 × 100 = 35 %. Écrire « 0,35 % » revient à oublier la multiplication par 100 ; 52 est l'effectif des non-juniors.