Calculer une probabilité — 3ᵉ

En une phrase

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (situation équiprobable), la probabilité d'un événement se calcule ainsi : nombre d'issues qui font gagner (favorables) divisé par nombre total d'issues (possibles). Le résultat est toujours entre 0 (impossible) et 1 (certain).

Comprendre

Calculer une probabilité, c'est mesurer la « chance » qu'un événement se produise, par un nombre compris entre 0 et 1. Le calcul le plus simple concerne les situations d'équiprobabilité, c'est-à-dire lorsque toutes les issues ont la même probabilité (un dé équilibré, une pièce non truquée, une urne où l'on tire au hasard). Dans ce cas, la probabilité d'un événement A est donnée par la formule : P(A) = nombre d'issues favorables / nombre d'issues possibles. Les issues favorables sont celles qui réalisent l'événement, les issues possibles sont toutes les issues de l'expérience.

Par exemple, avec un dé à six faces, la probabilité d'obtenir 6 est 1/6 (une seule issue favorable sur six possibles), et la probabilité d'obtenir un nombre pair est 3/6 = 1/2 (trois issues favorables : 2, 4, 6). Avec une urne contenant 3 boules rouges et 5 boules vertes (8 boules en tout), la probabilité de tirer une boule rouge est 3/8. On peut donner la probabilité sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Deux repères essentiels : une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 (0 ≤ P(A) ≤ 1) ; un événement impossible a une probabilité de 0, un événement certain une probabilité de 1. Les erreurs fréquentes sont d'inverser la fraction (mettre les possibles au numérateur), ou d'appliquer la formule quand les issues ne sont pas équiprobables.

Le cours

La probabilité d'un événement mesure la chance qu'il se produise ; c'est un nombre compris entre 0 et 1. Lorsque l'expérience aléatoire est en situation d'équiprobabilité — toutes les issues ont la même probabilité de se produire, comme les faces d'un dé équilibré — on peut la calculer très simplement. La probabilité d'un événement A est le quotient du nombre d'issues favorables (celles qui réalisent A) par le nombre d'issues possibles (toutes les issues de l'expérience) : P(A) = nombre d'issues favorables / nombre d'issues possibles. Prenons un dé à six faces : il y a six issues possibles.

Pour l'événement « obtenir 6 », il y a une seule issue favorable, donc P = 1/6. Pour l'événement « obtenir un nombre pair », il y a trois issues favorables (2, 4, 6), donc P = 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50 %. Pour une urne contenant 3 boules rouges et 5 boules vertes, il y a 8 issues possibles ; la probabilité de tirer une rouge est P(rouge) = 3/8. On peut exprimer une probabilité en fraction, en décimal ou en pourcentage. Deux propriétés sont à retenir absolument.

D'abord, une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : 0 ≤ P(A) ≤ 1, car le nombre d'issues favorables est compris entre 0 (aucune) et le nombre total d'issues (toutes). Ensuite, un événement impossible a une probabilité de 0 et un événement certain une probabilité de 1, et la somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience vaut 1. Les erreurs classiques sont d'inverser la fraction (diviser les possibles par les favorables) et d'appliquer cette formule à des situations non équiprobables (dé pipé, secteurs de tailles inégales), où elle ne s'applique pas.

Les erreurs fréquentes

On inverse la fraction et on écrit P = issues possibles / issues favorables, ce qui donne un nombre supérieur à 1.

La formule est P = favorables / possibles : le nombre d'issues favorables va au numérateur. Une probabilité ne peut jamais dépasser 1, donc un résultat supérieur à 1 signale une inversion.

On applique la formule favorables / possibles à une situation où les issues n'ont pas la même probabilité (dé pipé, roue à secteurs inégaux).

Cette formule n'est valable qu'en situation d'équiprobabilité, c'est-à-dire quand toutes les issues ont exactement la même chance de se produire.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître une situation d'équiprobabilité (issues de même probabilité).
• Calculer la probabilité d'un événement comme le quotient issues favorables / issues possibles.
• Justifier qu'une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.

Vérifie que tu as compris

1. En situation d'équiprobabilité, une probabilité se calcule par :

   Réponse issues favorables / issues possibles

   P = nombre d'issues favorables / nombre d'issues possibles. Le résultat est toujours entre 0 et 1.

2. Un sac contient 4 jetons bleus, 6 jaunes et 2 rouges. Quelle est la probabilité de tirer un jeton qui n'est PAS bleu ?

   Réponse 2/3

   Le sac contient 4 + 6 + 2 = 12 jetons, dont 12 − 4 = 8 ne sont pas bleus. P(pas bleu) = 8/12 = 2/3. La probabilité de tirer un bleu serait l'événement contraire, 4/12 = 1/3, et les deux se complètent bien à 1. Une probabilité est un quotient : répondre 8 revient à oublier de diviser par l'effectif total, et 4/8 compare les bleus aux non bleus au lieu de rapporter les cas favorables au TOTAL.

3. On lance deux dés équilibrés à six faces et on additionne les résultats. La probabilité d'obtenir une somme égale à 7 est :

   Réponse 1/6

   Les deux dés donnent 6 × 6 = 36 issues équiprobables. La somme 7 s'obtient de 6 façons : 1+6 ; 2+5 ; 3+4 ; 4+3 ; 5+2 ; 6+1. Donc P = 6/36 = 1/6. Les 11 sommes possibles (de 2 à 12) ne sont PAS équiprobables : la réponse n'est donc pas 1/11.