La médiane d'une série

En une phrase

La médiane, c'est la valeur du milieu quand tu as rangé toutes les données de la plus petite à la plus grande. Elle coupe la série en deux groupes de même taille : autant de données avant qu'après. Si le nombre de données est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs du centre.

Comprendre

La médiane est un indicateur de position, comme la moyenne, mais elle se calcule différemment. La toute première étape, indispensable, est d'ordonner la série : on range les valeurs de la plus petite à la plus grande. Ensuite, on cherche la valeur qui partage la série en deux moitiés de même effectif.

Deux cas se présentent. Si le nombre de données est impair, la médiane est la valeur située exactement au milieu. Par exemple, pour 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 (cinq valeurs), la médiane est 11 : il y a deux valeurs avant (5 et 8) et deux valeurs après (14 et 17).

Si le nombre de données est pair, il n'y a pas de valeur unique au centre : la médiane est alors la moyenne des deux valeurs centrales. Par exemple, pour 3 ; 7 ; 9 ; 15 (quatre valeurs), les deux valeurs centrales sont 7 et 9, donc la médiane est (7 + 9) / 2 = 8. La médiane a une propriété importante : contrairement à la moyenne, elle est peu sensible aux valeurs extrêmes. Un salaire très élevé dans une entreprise fait beaucoup monter la moyenne des salaires, mais change peu la médiane.

C'est pourquoi on utilise souvent la médiane pour décrire un « milieu » représentatif. L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'ordonner la série avant de prendre la valeur du centre.

Le cours

La médiane d'une série statistique est une valeur qui sépare la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Pour la déterminer, on procède en deux temps. Étape 1 : on ordonne la série, c'est-à-dire qu'on range toutes les valeurs de la plus petite à la plus grande (sans oublier de répéter les valeurs qui apparaissent plusieurs fois).

Étape 2 : on repère la position centrale. Si l'effectif total N est impair, la médiane est la valeur de rang (N + 1) / 2, c'est-à-dire la valeur exactement au milieu : pour 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17, N = 5 et la médiane est la 3ᵉ valeur, soit 11. Si l'effectif total N est pair, il y a deux valeurs centrales (aux rangs N/2 et N/2 + 1) et la médiane est leur moyenne : pour 3 ; 7 ; 9 ; 15, N = 4, les valeurs centrales sont la 2ᵉ (7) et la 3ᵉ (9), donc la médiane vaut (7 + 9) / 2 = 8. La médiane est un indicateur robuste : elle est peu influencée par les valeurs extrêmes, alors que la moyenne l'est fortement. Ainsi, une série peut avoir une médiane et une moyenne très différentes.

On retient surtout que la médiane partage l'effectif en deux moitiés égales. Les erreurs classiques sont d'oublier d'ordonner la série au préalable, ou, dans le cas d'un effectif pair, de choisir une seule des deux valeurs centrales au lieu d'en faire la moyenne.

Les erreurs fréquentes

On prend la valeur du milieu de la liste sans avoir d'abord rangé les données dans l'ordre croissant.

La médiane se lit uniquement sur une série ORDONNÉE : il faut d'abord ranger les valeurs de la plus petite à la plus grande, sinon la valeur centrale n'a aucun sens.

Quand le nombre de données est pair, on choisit une seule des deux valeurs centrales comme médiane.

Avec un effectif pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales : pour 3 ; 7 ; 9 ; 15, on calcule (7 + 9) / 2 = 8, et non 7 ou 9 seul.

Tu maîtrises la notion si…

• Ordonner une série de la plus petite à la plus grande valeur avant tout calcul de médiane.
• Déterminer la médiane d'une série à effectif impair comme la valeur centrale.
• Déterminer la médiane d'une série à effectif pair comme la moyenne des deux valeurs centrales.

Vérifie que tu as compris

1. Avant de déterminer la médiane d'une série, il faut d'abord :

   Réponse ranger les valeurs dans l'ordre croissant

   La médiane est la valeur du milieu d'une série ORDONNÉE : on range d'abord de la plus petite à la plus grande.

2. Dans une série de 9 valeurs rangées dans l'ordre croissant, la médiane est :

   Réponse la 5ᵉ valeur de la série

   Avec un effectif IMPAIR (ici 9 valeurs), la médiane est la valeur du milieu : il y a 4 valeurs avant elle et 4 après, c'est donc la 5ᵉ. On ne fait la moyenne des deux valeurs centrales que lorsque l'effectif est PAIR. Et la moyenne de toutes les valeurs, c'est un autre indicateur : la moyenne, pas la médiane.

3. La médiane d'une série partage l'effectif en deux groupes. Que peut-on affirmer ?

   Réponse au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales

   La médiane coupe la série ordonnée en deux : au moins 50 % des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins 50 % lui sont supérieures ou égales. Elle diffère en général de la moyenne et, pour un effectif pair, elle peut même ne pas figurer dans la série.