Les équations produit

En une phrase

Quand une multiplication donne 0, c'est qu'au moins un des nombres multipliés vaut 0 (impossible autrement). Donc (x − 2)(x + 5) = 0 veut dire x − 2 = 0 OU x + 5 = 0, c'est-à-dire x = 2 ou x = −5. Attention : la règle ne marche que si le produit vaut 0, jamais s'il vaut un autre nombre.

Comprendre

Il existe une propriété très puissante sur la multiplication : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Autrement dit, si tu multiplies des nombres et que le résultat est 0, c'est forcément que l'un d'eux (au moins) valait 0 ; et inversement, si un facteur est 0, tout le produit est 0. C'est la règle du produit nul. Elle sert à résoudre les équations produit, c'est-à-dire de la forme (un facteur) × (un autre facteur) = 0. Par exemple, pour (x − 2)(x + 5) = 0, le produit est nul, donc le premier facteur est nul OU le second facteur est nul : x − 2 = 0 ou x + 5 = 0. On résout alors ces deux petites équations du premier degré : x = 2 ou x = −5. Il y a donc deux solutions.

Attention : la règle ne marche que si le produit est égal à ZÉRO ; si l'équation était égale à un autre nombre, on ne pourrait pas l'utiliser ainsi. Une équation produit arrive le plus souvent à la fin d'un exercice de factorisation : on factorise l'expression pour se ramener à un produit égal à 0, puis on applique la règle. Le cas particulier de l'équation x² = a, lui, est traité par le concept suivant.

Le cours

La règle du produit nul est une propriété fondamentale : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Elle permet de résoudre les équations produit, c'est-à-dire les équations dont un membre est un produit de facteurs et l'autre membre vaut 0. Pour résoudre une telle équation, on écrit que chaque facteur peut être nul, ce qui donne plusieurs équations du premier degré plus simples. Exemple : (x − 2)(x + 5) = 0 équivaut à x − 2 = 0 ou x + 5 = 0, ce qui donne les solutions x = 2 ou x = −5. Il est indispensable que le second membre soit égal à 0 pour appliquer cette règle.

Le cas particulier de l'équation x² = a est traité en entier par le concept suivant. Les équations produit apparaissent souvent à la fin d'un exercice de factorisation : on factorise une expression pour se ramener à un produit égal à 0, puis on applique la règle du produit nul.

Les erreurs fréquentes

Pour x² = 9, on donne une seule solution, x = 3, en oubliant x = −3.

Un carré et celui de son opposé sont égaux : 3² = 9 et (−3)² = 9. L'équation x² = 9 (avec 9 positif) a donc DEUX solutions opposées : x = 3 ou x = −3.

On applique la règle du produit nul à (x − 2)(x + 5) = 12 en écrivant x − 2 = 12 ou x + 5 = 12.

La règle du produit nul ne s'utilise que si le produit est égal à 0. Quand le second membre n'est pas 0, on ne peut pas séparer les facteurs ainsi ; il faut d'abord se ramener à un produit égal à 0.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
• Résoudre une équation produit en annulant chaque facteur, ex. (x − 2)(x + 5) = 0 → x = 2 ou x = −5.
• Résoudre x² = a (a positif) en donnant les deux solutions opposées x = √a et x = −√a (ex. x² = 9 → x = 3 ou x = −3).

Vérifie que tu as compris

1. Les solutions de l'équation (x − 2)(x + 5) = 0 sont :

   Réponse 2 et −5

   Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : x − 2 = 0 (x = 2) ou x + 5 = 0 (x = −5).

2. Pour que le produit (3x + 1)(x − 4) soit nul, il faut et il suffit que :

   Réponse 3x + 1 = 0 ou x − 4 = 0

   Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si AU MOINS l'un des facteurs est nul : A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0. Ici 3x + 1 = 0 donne x = −1/3, et x − 4 = 0 donne x = 4. Le « et » est impossible : un même nombre x ne peut pas annuler les deux facteurs à la fois. Le signe des facteurs, lui, n'intervient pas.

3. L'équation x² − 7x = 0 se ramène à un produit nul en écrivant :

   Réponse x(x − 7) = 0

   Les deux termes contiennent x en facteur commun : x² − 7x = x × x − 7 × x = x(x − 7). L'équation devient x(x − 7) = 0, un produit nul, donc x = 0 ou x = 7. Il ne faut surtout pas diviser par x : on perdrait la solution x = 0. La factorisation (x − 7)(x + 7) correspondrait à x² − 49, pas à x² − 7x.