Résoudre une inéquation du premier degré

En une phrase

Une inéquation ressemble à une équation, mais avec ≤, <, ≥ ou > au lieu de =. Tu isoles x de la même façon, sauf une règle à ne jamais oublier : si tu multiplies ou divises les deux côtés par un nombre négatif, tu dois RETOURNER le signe de l'inégalité. Comme il y a une infinité de solutions, on les dessine sur une droite graduée.

Comprendre

Une inéquation du premier degré est une comparaison entre deux expressions à l'aide d'un symbole d'inégalité : ≤ (inférieur ou égal), < (strictement inférieur), ≥ (supérieur ou égal) ou > (strictement supérieur), par exemple 2x + 3 ≤ 11. La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'inégalité vraie ; contrairement à une équation, il y en a en général une infinité. La méthode est presque la même que pour une équation : on effectue la même opération sur les deux membres pour isoler x. On peut ajouter ou soustraire un même nombre des deux côtés sans problème.

Mais il y a une règle capitale : quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité. Prenons 2x + 3 ≤ 11 : on enlève 3 des deux côtés (2x ≤ 8), puis on divise par 2, qui est positif, donc le sens ne change pas : x ≤ 4. Prenons maintenant −3x > 6 : on divise par −3, qui est négatif, donc le sens change et le > devient < : x < −2 (et surtout pas x > −2). On représente l'ensemble des solutions sur une droite graduée : on place la valeur limite, on trace un crochet fermé si elle est comprise (≤ ou ≥) ou un crochet ouvert si elle est exclue (< ou >), et on hachure la partie de la droite qui contient les solutions.

L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'inverser le sens de l'inégalité lorsqu'on divise ou multiplie par un nombre négatif.

Le cours

Une inéquation du premier degré à une inconnue est une comparaison de deux expressions faisant intervenir x à la puissance 1, reliées par l'un des symboles ≤, <, ≥ ou >, par exemple 2x + 3 ≤ 11. Résoudre l'inéquation, c'est déterminer l'ensemble de toutes les valeurs de x qui la vérifient. Cet ensemble contient en général une infinité de nombres, ce qui distingue l'inéquation de l'équation. Pour la résoudre, on isole x en transformant l'inéquation par des opérations autorisées, en agissant de la même façon sur les deux membres.

On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres sans changer le sens de l'inégalité. On peut aussi multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre, mais avec une règle essentielle : si ce nombre est positif, le sens de l'inégalité est conservé ; si ce nombre est négatif, le sens de l'inégalité est inversé (≤ devient ≥, < devient >, et réciproquement). Par exemple, pour 2x + 3 ≤ 11, on soustrait 3 aux deux membres, ce qui donne 2x ≤ 8, puis on divise par 2 (positif), ce qui conserve le sens : x ≤ 4. En revanche, pour −3x > 6, on divise les deux membres par −3 (négatif) : le sens change et l'on obtient x < −2, et non x > −2. On représente ensuite l'ensemble des solutions sur une droite graduée : on repère la valeur limite, on trace un crochet tourné vers les solutions, fermé lorsque la valeur est incluse (cas ≤ ou ≥) et ouvert lorsqu'elle est exclue (cas < ou >), puis on hachure la demi-droite des solutions.

Ainsi, x ≤ 4 se représente par un crochet fermé en 4 et des hachures vers la gauche. L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'inverser le sens de l'inégalité au moment de diviser ou multiplier par un nombre négatif.

Les erreurs fréquentes

Pour résoudre −3x > 6, on divise par −3 mais on garde le même sens : x > −2.

Diviser par un nombre négatif INVERSE le sens de l'inégalité : −3x > 6 donne x < −2 (le > devient <). On peut vérifier avec x = −3 : −3 × (−3) = 9 > 6, et −3 < −2, c'est cohérent.

On représente x ≤ 4 avec un crochet ouvert, ou en hachurant du mauvais côté.

Comme 4 est inclus (≤), le crochet est fermé en 4 ; comme les solutions sont les nombres inférieurs à 4, on hachure vers la gauche. Un crochet ouvert serait réservé au cas strict (< ou >).

Tu maîtrises la notion si…

• Résoudre une inéquation du premier degré en isolant x par les mêmes opérations que pour une équation (ex. 2x + 3 ≤ 11 → x ≤ 4).
• Inverser le sens de l'inégalité lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif (ex. −3x > 6 → x < −2).
• Représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée avec le bon crochet (ouvert ou fermé) et les hachures du bon côté.

Vérifie que tu as compris

1. L'inéquation 2x + 3 ≤ 11 a pour solutions :

   Réponse x ≤ 4

   2x + 3 ≤ 11 → 2x ≤ 8 → x ≤ 4 (on divise par 2, positif : le sens ne change pas).

2. L'inéquation −3x > 6 a pour solutions :

   Réponse x < −2

   On divise par −3 (négatif) : le sens de l'inégalité s'inverse, donc x < −2 (et non x > −2).

3. Parmi ces valeurs, laquelle n'est PAS solution de 4x − 1 < 11 ?

   Réponse 3

   On résout l'inéquation : 4x − 1 < 11 donne 4x < 12, puis x < 3 (on divise par 4, qui est positif : le sens ne change pas). Les solutions sont les nombres STRICTEMENT inférieurs à 3. Pour x = 3, on obtient 4 × 3 − 1 = 11, et 11 < 11 est faux : 3 n'est donc pas solution. En revanche 2, 0 et −5 conviennent, par exemple 4 × 2 − 1 = 7 < 11.