Les équations du premier degré

En une phrase

Une équation, c'est une égalité où il y a un nombre caché : x. Résoudre, c'est trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie. Le secret : tu fais toujours la même chose des deux côtés du = pour garder l'équilibre, jusqu'à ce que x reste tout seul.

Comprendre

Une équation du premier degré, c'est une égalité où l'inconnue x figure à la puissance 1 (jamais au carré), éventuellement des deux côtés du signe = : 2x + 3 = 11, mais aussi 5x − 7 = 3x + 1. Le mot « degré 1 » veut dire que x n'a jamais d'exposant. Résoudre l'équation, c'est trouver la (ou les) valeur(s) de x qui rendent l'égalité vraie. Imagine une balance en équilibre : à gauche tu as 2x + 3, à droite tu as 11, et les deux plateaux sont au même niveau.

Pour garder l'équilibre, tu as le droit de faire ce que tu veux à condition de le faire EXACTEMENT pareil des deux côtés : enlever le même nombre, ajouter le même nombre, multiplier ou diviser par le même nombre (non nul). C'est la règle d'or. Ton but est d'isoler x, c'est-à-dire de le laisser tout seul d'un côté.

Sur 2x + 3 = 11, tu enlèves 3 des deux côtés : 2x = 8. Puis tu divises les deux côtés par 2 : x = 4. La solution est x = 4. Le grand avantage des équations, c'est que tu peux toujours VÉRIFIER : tu remplaces x par 4 dans l'équation de départ, 2 × 4 + 3 = 11, c'est bien vrai, donc tu es sûr de ta réponse. Beaucoup de problèmes de la vie réelle (un prix, une longueur, un âge inconnu) se résolvent ainsi : on traduit l'énoncé en équation, on isole x, puis on vérifie que la solution a un sens.

Le cours

Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité, du type ax + b = c, où l'inconnue (notée x) apparaît à la puissance 1, par exemple 2x + 3 = 11, 5x − 7 = 3x + 1, etc. Résoudre cette équation, c'est déterminer toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie ; on appelle ces valeurs les solutions. La méthode repose sur un principe fondamental : une égalité reste vraie si on effectue la même opération sur ses deux membres.

On peut donc ajouter ou soustraire un même nombre des deux côtés, et multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre différent de zéro. L'objectif est d'isoler l'inconnue, c'est-à-dire de transformer l'équation jusqu'à obtenir x tout seul d'un côté du signe égal. Exemple : pour 2x + 3 = 11, on soustrait 3 aux deux membres, ce qui donne 2x = 8, puis on divise les deux membres par 2, ce qui donne x = 4. Chaque étape doit être justifiée par l'opération faite (« je soustrais 3 », « je divise par 2 »).

Une fois la solution obtenue, il est essentiel de la vérifier en la remplaçant dans l'équation de départ : 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11, l'égalité est bien vérifiée, donc 4 est bien la solution. Cette étape de vérification permet de détecter une éventuelle erreur de calcul. Les équations servent aussi à résoudre des problèmes : on choisit l'inconnue, on traduit l'énoncé en une équation, on la résout, puis on vérifie que la réponse répond bien à la question posée et qu'elle a un sens dans le contexte (par exemple, une longueur ne peut pas être négative).

Les erreurs fréquentes

Pour résoudre 2x + 3 = 11, on enlève 3 d'un seul côté et on écrit 2x = 11.

Il faut faire la même opération des DEUX côtés : on enlève 3 à gauche ET à droite, donc 2x = 11 − 3 = 8, puis x = 4. Modifier un seul membre casse l'égalité.

Une fois x = 8 obtenu sur 2x = 8, on pense que c'est la solution sans diviser par 2.

Sur 2x = 8, x n'est pas encore isolé : il reste multiplié par 2. On divise les deux côtés par 2 pour obtenir x = 4. On peut le vérifier : 2 × 4 = 8.

Tu maîtrises la notion si…

• Appliquer la règle d'or : faire la même opération des deux côtés du signe = pour garder l'égalité.
• Isoler x étape par étape jusqu'à obtenir x = … (ex. 2x + 3 = 11 → 2x = 8 → x = 4).
• Vérifier la solution en la remplaçant dans l'équation de départ.

Vérifie que tu as compris

1. La solution de l'équation 2x + 3 = 11 est :

   Réponse x = 4

   2x + 3 = 11 → 2x = 8 (on retire 3) → x = 4 (on divise par 2).

2. La solution de l'équation 5x − 2 = 3x + 8 est :

   Réponse x = 5

   5x − 3x = 8 + 2 → 2x = 10 → x = 5 (on regroupe les x d'un côté, les nombres de l'autre).

3. Parmi ces quatre nombres, lequel vérifie 7x − 5 = 4x + 16 ?

   Réponse 7

   On regroupe les x d'un côté et les nombres de l'autre : 7x − 4x = 16 + 5, soit 3x = 21, donc x = 7. Vérification dans les DEUX membres : 7 × 7 − 5 = 44 et 4 × 7 + 16 = 44, les deux valent bien 44. Répondre 21 revient à oublier de diviser par 3, et 3 confond le coefficient obtenu et la solution.