Les équations du type x² = a

En une phrase

Pour résoudre x² = a, regarde le signe de a. Si a est positif, il y a DEUX solutions opposées : la racine carrée de a et son opposé (x² = 16 donne 4 et −4). Si a = 0, une seule solution : 0. Si a est négatif, aucune solution, parce qu'un carré ne peut jamais être négatif.

Comprendre

Une équation de la forme x² = a se lit « quel nombre, élevé au carré, donne a ? ». Sa résolution repose sur une idée simple : un carré n'est jamais négatif. Trois cas se présentent selon le signe de a.

Premier cas, a > 0 (a strictement positif) : il existe exactement deux nombres opposés dont le carré vaut a, à savoir √a et −√a, car un nombre et son opposé ont le même carré. Par exemple, x² = 16 a pour solutions x = 4 et x = −4, puisque 4² = 16 et (−4)² = 16. Attention, la solution n'est pas toujours un nombre entier : x² = 5 a pour solutions x = √5 et x = −√5, deux nombres qui existent bien même s'ils ne « tombent pas juste ». Deuxième cas, a = 0 : l'équation x² = 0 a une seule solution, x = 0, car 0 est le seul nombre dont le carré vaut 0. Troisième cas, a < 0 (a strictement négatif) : l'équation n'a aucune solution, car aucun carré ne peut être négatif ; par exemple, x² = −4 est impossible.

L'erreur la plus fréquente est d'oublier la solution négative quand a est positif (croire que x² = 16 donne seulement 4). Une autre erreur classique est de diviser a par 2 : pour x² = 16, la solution est √16 = 4, et surtout pas 16 ÷ 2 = 8.

Le cours

L'équation x² = a, où a est un nombre donné, demande de trouver tous les nombres dont le carré vaut a. Sa résolution s'appuie sur la propriété fondamentale : le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul. On distingue donc trois cas selon le signe de a.

Si a est strictement positif, l'équation x² = a admet exactement deux solutions, opposées l'une de l'autre : x = √a et x = −√a. Cela vient du fait qu'un nombre et son opposé ont le même carré ((−n)² = n²). Ainsi, x² = 16 a pour solutions x = 4 et x = −4, car 4² = 16 et (−4)² = 16 ; de même, x² = 5 a pour solutions x = √5 et x = −√5, qui ne sont pas des nombres entiers mais existent bel et bien.

Si a est nul, l'équation x² = 0 admet une seule solution, x = 0. Si a est strictement négatif, l'équation x² = a n'admet aucune solution, car un carré ne peut jamais être négatif : par exemple, x² = −4 n'a pas de solution. Pour résoudre une telle équation, on identifie donc d'abord le signe de a, puis on conclut. Deux erreurs sont particulièrement fréquentes.

La première est d'oublier la solution négative lorsque a est positif : il faut systématiquement donner les deux solutions opposées √a et −√a. La seconde est de confondre la racine carrée avec une division : la solution de x² = 16 est √16 = 4, et non 16 ÷ 2 = 8. Ces équations apparaissent souvent à la fin d'un problème (calcul d'une longueur à partir d'une aire, application du théorème de Pythagore), où l'on ne garde alors que la solution positive si le contexte l'impose.

Les erreurs fréquentes

Pour x² = 16, on ne donne que x = 4 en oubliant la solution négative.

Un nombre et son opposé ont le même carré : 4² = 16 et (−4)² = 16. Comme 16 est positif, x² = 16 a DEUX solutions opposées : x = 4 ou x = −4.

Pour x² = 16, on écrit x = 8 en divisant 16 par 2.

La solution d'une équation x² = a (a positif) est la racine carrée de a, pas sa moitié : √16 = 4, donc x = 4 ou x = −4, et non 16 ÷ 2 = 8.

Tu maîtrises la notion si…

• Résoudre x² = a lorsque a > 0 en donnant les deux solutions opposées x = √a et x = −√a (ex. x² = 16 → x = 4 ou x = −4).
• Reconnaître qu'une équation x² = a avec a < 0 n'a aucune solution, et que x² = 0 a la seule solution x = 0.
• Éviter les pièges : ne pas oublier la solution négative, et ne pas confondre la racine carrée avec une division par 2.

Vérifie que tu as compris

1. Quel nombre NÉGATIF a pour carré 36 ?

   Réponse −6

   On cherche x tel que x² = 36 avec x négatif. L'équation x² = 36 a deux solutions opposées, 6 et −6 : la solution négative est −6, car (−6) × (−6) = +36. Le produit de deux nombres négatifs est positif, c'est ce qui permet à un nombre négatif d'avoir un carré positif. Diviser 36 par 2 (−18) ou l'élever au carré (−1296) ne donne pas un nombre dont le carré vaut 36.

2. Les solutions de l'équation x² = 16 sont :

   Réponse 4 et −4

   16 est positif : deux solutions opposées, car 4² = 16 et (−4)² = 16. On n'oublie pas la solution négative, et x ≠ 16 ÷ 2 = 8.

3. Combien de solutions l'équation x² = −4 admet-elle ?

   Réponse aucune solution

   Un carré n'est jamais négatif : x² = −4 est impossible, donc l'équation n'a aucune solution. À ne pas confondre avec x² = 4, qui en a DEUX, 2 et −2.