Mettre un problème en équation — 3ᵉ

En une phrase

Beaucoup de problèmes cachent un nombre qu'on ne connaît pas. L'astuce : tu appelles ce nombre x, tu réécris la phrase de l'énoncé sous forme d'égalité (une équation), tu résous cette équation, puis tu relis la question pour répondre dans le contexte, avec la bonne unité.

Comprendre

Un problème « à mettre en équation » décrit une situation où un nombre est inconnu et vérifie une condition. Pour le résoudre, on suit toujours quatre étapes. Étape 1 : choisir l'inconnue, c'est-à-dire décider clairement ce que x représente (« x est le nombre cherché », « x est l'âge de Paul », « x est la largeur en cm »).

Bien définir x est essentiel : c'est là que se jouent la plupart des erreurs. Étape 2 : traduire l'énoncé en équation, en réécrivant chaque morceau de phrase par une opération. Par exemple, « un nombre augmenté de 7 » se traduit par x + 7, et « son triple » par 3x ; la phrase « un nombre augmenté de 7 est égal à son triple » devient donc l'équation x + 7 = 3x.

Étape 3 : résoudre l'équation avec les règles habituelles (même opération des deux côtés). Ici on enlève x des deux côtés : 7 = 2x, puis on divise par 2 : x = 3,5. Étape 4 : interpréter et vérifier, c'est-à-dire revenir à la question posée et contrôler que la réponse a un sens. On vérifie : 3,5 + 7 = 10,5 et 3 × 3,5 = 10,5, l'égalité est bien vraie.

Beaucoup de situations concrètes se résolvent ainsi : un âge, un prix, une longueur inconnue. L'erreur la plus fréquente est de mal définir l'inconnue, ou de trouver x sans répondre vraiment à la question (par exemple oublier de préciser l'âge de chacun, ou l'unité).

Le cours

Mettre un problème en équation consiste à traduire une situation, décrite par un énoncé, en une équation que l'on sait résoudre. La démarche comporte quatre étapes que l'on retrouve dans tous les problèmes. La première étape est le choix de l'inconnue : on désigne par une lettre, souvent x, la quantité que l'on cherche, en précisant clairement ce qu'elle représente et, si besoin, son unité (par exemple « soit x l'âge de Paul, en années »).

La deuxième étape est la mise en équation proprement dite : on traduit les informations de l'énoncé en une égalité portant sur x, en réécrivant les expressions du langage courant par des opérations. Ainsi « augmenté de 7 » devient + 7, « le triple » devient × 3, « la somme » devient une addition, etc. Par exemple, « un nombre augmenté de 7 est égal à son triple » se traduit par x + 7 = 3x.

La troisième étape est la résolution de l'équation obtenue, à l'aide des règles étudiées : on isole x en effectuant la même opération sur les deux membres. Sur x + 7 = 3x, on soustrait x aux deux membres, ce qui donne 7 = 2x, puis on divise par 2 pour obtenir x = 3,5. La quatrième étape est l'interprétation : on revient à la question posée et l'on rédige la réponse dans le contexte, en vérifiant qu'elle est cohérente (une longueur ou un âge ne peuvent pas être négatifs). On contrôle aussi la solution en la remplaçant dans les conditions de départ : ici 3,5 + 7 = 10,5 et 3 × 3,5 = 10,5, donc la solution convient.

Cette méthode s'applique à de nombreux problèmes concrets : problèmes de nombres, d'âges, de périmètres, de prix. Les erreurs les plus fréquentes sont de définir l'inconnue de façon imprécise, et de s'arrêter à la valeur de x sans répondre réellement à la question posée.

Les erreurs fréquentes

On se lance dans les calculs sans avoir clairement défini ce que représente l'inconnue x.

Il faut toujours commencer par écrire ce que x désigne (« soit x le nombre cherché », « soit x l'âge de Paul »). Une inconnue mal définie conduit à une équation fausse ou à une réponse ininterprétable.

Une fois x trouvé, on s'arrête à « x = 3,5 » sans revenir à la question posée.

La valeur de x n'est pas toujours la réponse finale : il faut interpréter dans le contexte (donner l'âge de chacun, le prix avec l'unité €) et vérifier que la réponse a un sens.

Tu maîtrises la notion si…

• Choisir et définir clairement l'inconnue x avant de calculer.
• Traduire un énoncé en équation en réécrivant chaque expression par une opération (ex. « augmenté de 7 » → + 7, « le triple » → 3x).
• Résoudre l'équation puis interpréter et vérifier la réponse dans le contexte du problème.

Vérifie que tu as compris

1. On appelle x un nombre. « Ce nombre augmenté de 7 est égal à son triple » se traduit par :

   Réponse x + 7 = 3x

   « augmenté de 7 » → x + 7 ; « son triple » → 3x. L'équation est x + 7 = 3x, d'où 7 = 2x et x = 3,5.

2. Marie a 3 ans de plus que Paul ; ensemble ils ont 21 ans. Quel âge a Paul ?

   Réponse 9 ans

   Soit x l'âge de Paul : x + (x + 3) = 21 → 2x + 3 = 21 → 2x = 18 → x = 9. Paul a 9 ans (et Marie 12).

3. Un rectangle a pour largeur 5 cm et pour périmètre 34 cm. Quelle est sa longueur ?

   Réponse 12 cm

   On note x la longueur en cm. Le périmètre d'un rectangle vaut 2 × (longueur + largeur), d'où l'équation 2(x + 5) = 34. On divise les deux membres par 2 : x + 5 = 17, puis on retire 5 : x = 12. Vérification : 2 × (12 + 5) = 2 × 17 = 34 cm. Répondre 24 cm revient à retirer les deux largeurs sans diviser par 2, 29 cm à oublier le double, et 6,8 cm à diviser 34 par 5.