Le volume d'un prisme

En une phrase

Pour trouver le volume d'un prisme droit, tu calcules l'aire de sa base (le polygone), puis tu la multiplies par la hauteur (la distance entre les deux bases). En formule : V = aire de la base × hauteur. Le résultat s'exprime en unités de volume, par exemple en cm³.

Comprendre

Le volume d'un prisme droit se calcule toujours de la même façon : on multiplie l'AIRE DE LA BASE par la HAUTEUR du prisme (la distance entre les deux bases). En formule : V = aire de la base × hauteur. La hauteur, c'est la longueur des arêtes latérales, perpendiculaires aux bases.

Exemple : un prisme droit dont la base est un triangle d'aire 6 cm² et dont la hauteur est 10 cm a pour volume V = 6 × 10 = 60 cm³. Fais attention aux unités : une aire est en cm², une longueur en cm, et le volume obtenu est en cm³. Cette formule marche pour TOUS les prismes droits, quelle que soit la base : par exemple un pavé droit dont la base a une aire de 12 cm² et de hauteur 5 cm a lui aussi un volume de 12 × 5 = 60 cm³.

L'essentiel est de bien calculer d'abord l'aire de la base, puis de multiplier par la hauteur.

Le cours

Un prisme droit peut être vu comme un empilement de « tranches » toutes identiques à sa base. Son volume s'obtient donc en multipliant l'aire de cette base par la hauteur du prisme : V = aire de la base × hauteur. La hauteur est la distance entre les deux bases (la longueur d'une arête latérale).

Cette formule est valable pour n'importe quel prisme droit, quelle que soit la forme de la base. Étapes de calcul : (1) calculer l'aire de la base (avec la formule adaptée au polygone) ; (2) multiplier cette aire par la hauteur ; (3) exprimer le résultat en unité de volume. Exemple : pour un prisme de base triangulaire d'aire 6 cm² et de hauteur 10 cm, V = 6 × 10 = 60 cm³.

Autre exemple, un pavé droit (prisme à base rectangulaire) dont la base a une aire de 12 cm² et de hauteur 5 cm : V = 12 × 5 = 60 cm³. Pour un pavé droit, on écrit d'ailleurs directement V = L × l × h (longueur × largeur × hauteur) : c'est la même formule, puisque l'aire de la base rectangulaire vaut L × l. Et pour un CUBE d'arête c, dont toutes les arêtes sont égales, V = c × c × c = c³ ; par exemple un cube d'arête 4 cm a pour volume 4 × 4 × 4 = 64 cm³.

Il faut veiller aux unités : aire (cm²) × longueur (cm) = volume (cm³). Deux erreurs sont à éviter : confondre la hauteur du prisme avec la hauteur du triangle de base, et écrire le résultat en cm² au lieu de cm³.

Les erreurs fréquentes

On confond la hauteur du prisme avec la hauteur du triangle qui sert à calculer l'aire de la base.

La hauteur du prisme est la distance entre les deux bases (ici 10 cm) ; elle est différente de la hauteur du triangle utilisée pour l'aire de la base (déjà comprise dans les 6 cm²).

On additionne l'aire de la base et la hauteur, ou on écrit le volume en cm².

On MULTIPLIE : V = 6 × 10 = 60 (et non 6 + 10 = 16). Et l'unité est le cm³ : aire (cm²) × longueur (cm) = cm³.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la formule du volume d'un prisme droit : V = aire de la base × hauteur.
• Calculer le volume d'un prisme dont la base a une aire de 6 cm² et la hauteur 10 cm (V = 60 cm³).
• Exprimer le résultat dans la bonne unité de volume (cm³).

Vérifie que tu as compris

1. Le volume d'un prisme droit se calcule par :

   Réponse aire de la base × hauteur

   V = aire de la base × hauteur, quelle que soit la forme de la base.

2. Un prisme a une base d'aire 6 cm² et une hauteur de 10 cm. Son volume est :

   Réponse 60 cm³

   V = aire de la base × hauteur = 6 × 10 = 60 cm³ (et non 6 + 10 = 16 ; l'unité est le cm³).

3. Un prisme droit à base carrée de 3 cm de côté a une hauteur de 8 cm. Quel est son volume ?

   Réponse 72 cm³

   L'aire de la base carrée vaut 3 × 3 = 9 cm². Le volume est donc 9 × 8 = 72 cm³. Prendre 3 × 8 = 24 oublie que la base est un carré ; multiplier encore par 8 donne 576, la hauteur comptée deux fois.