Aire du disque & conversions de volume

En une phrase

L'aire d'un disque (la surface à l'intérieur du cercle) vaut π × r², à ne pas confondre avec son périmètre 2 × π × r. Pour les volumes, on retient les égalités utiles : 1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL, 1 m³ = 1000 L, et 1 dm³ = 1000 cm³.

Comprendre

Cette leçon rassemble deux outils utiles pour les solides. D'abord, l'AIRE D'UN DISQUE : pour un disque de rayon r, l'aire vaut π × r². Par exemple, pour r = 4 cm : aire = π × 4² = π × 16 = 3,14 × 16 = 50,24 ≈ 50,2 cm² (avec π ≈ 3,14).

Attention à ne pas confondre cette aire avec le périmètre du disque, qui vaut 2 × π × r (pour r = 4, périmètre ≈ 25,1 cm). Cette aire π × r² sert justement de « base » pour le volume d'un cylindre. Ensuite, les CONVERSIONS de volume, indispensables pour passer d'un solide à une contenance (en litres).

Trois égalités à retenir : 1 cm³ = 1 mL ; 1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1000 L. On utilise aussi 1 dm³ = 1000 cm³ (un cube de 10 cm de côté). Par exemple, une brique de 1 litre de lait a un volume de 1 dm³, soit 1000 cm³. Chaque « marche » entre m³, dm³ et cm³ multiplie ou divise par 1000.

Le cours

Deux outils complètent l'étude des solides. Premier outil : l'aire d'un disque. Pour un disque de rayon r, l'aire (la surface intérieure) est donnée par A = π × r².

Il ne faut pas la confondre avec le périmètre du disque, qui vaut 2 × π × r : l'aire mesure une surface (en cm²), le périmètre mesure une longueur (en cm). Exemple : pour r = 4 cm, A = π × 4² = π × 16 = 3,14 × 16 = 50,24 ≈ 50,2 cm², alors que le périmètre vaut 2 × π × 4 = 8π ≈ 25,1 cm. Cette aire du disque est la base du calcul de volume d'un cylindre.

Second outil : les conversions d'unités de volume, utiles pour exprimer une contenance en litres. Les égalités de référence sont : 1 cm³ = 1 mL ; 1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1000 L. On retient aussi que 1 dm³ = 1000 cm³ (un cube de 10 cm d'arête) et, plus loin, 1 m³ = 1000 dm³. Pour convertir, on se déplace de marche en marche : entre deux unités voisines (m³ → dm³ → cm³), on multiplie ou on divise par 1000. Par exemple, 1,5 L = 1,5 dm³ = 1500 cm³, et 2 L = 2000 cm³ = 2000 mL.

Les erreurs fréquentes

On confond l'aire du disque (π × r²) avec son périmètre (2 × π × r).

L'aire est π × r² (le rayon au carré, une surface en cm²) ; le périmètre est 2 × π × r (une longueur en cm). Pour r = 4 : aire ≈ 50,2 cm², périmètre ≈ 25,1 cm.

On croit que 1 L = 1 cm³, ou que 1 m³ = 100 L.

Il faut retenir 1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL et 1 m³ = 1000 L (car 1 m³ = 1000 dm³). De plus, 1 dm³ = 1000 cm³.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer l'aire d'un disque avec la formule π × r² (pour r = 4 cm, ≈ 50,2 cm²).
• Distinguer l'aire (π × r²) du périmètre (2 × π × r) d'un disque.
• Convertir des volumes : 1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL, 1 m³ = 1000 L, 1 dm³ = 1000 cm³.

Vérifie que tu as compris

1. L'aire d'un disque de rayon 4 cm vaut (π ≈ 3,14) :

   Réponse ≈ 50,2 cm²

   Aire = π × r² = π × 4² = 3,14 × 16 = 50,24 ≈ 50,2 cm² (le périmètre, lui, vaut 2 × π × 4 ≈ 25,1 cm).

2. Combien de cm³ y a-t-il dans 2 litres ?

   Réponse 2000 cm³

   1 L = 1 dm³ = 1000 cm³, donc 2 L = 2 dm³ = 2000 cm³.

3. Une plaque de cuisson ronde a un rayon de 10 cm. Quelle est son aire (π ≈ 3,14) ?

   Réponse ≈ 314 cm²

   Aire = π × r² = 3,14 × 10² = 3,14 × 100 = 314 cm². 62,8 cm est le périmètre du disque (2 × π × 10) et 31,4 cm la moitié de ce périmètre ; 100 cm² serait l'aire d'un carré de 10 cm de côté.