Le cylindre et son patron

En une phrase

Un cylindre, c'est comme une boîte de conserve : deux disques identiques (le dessus et le dessous) reliés par une surface courbe. Si tu déroules cette surface (comme l'étiquette de la boîte), tu obtiens un rectangle : sa hauteur est celle du cylindre, sa longueur fait le tour du disque, soit 2 × π × r.

Comprendre

Un cylindre (de révolution) possède deux faces planes identiques : deux DISQUES, reliés par une surface courbe appelée surface latérale. Quand on déroule cette surface latérale — comme on déroule l'étiquette d'une boîte de conserve — on obtient un RECTANGLE. La hauteur de ce rectangle est la hauteur du cylindre ; sa longueur est exactement le tour du disque, c'est-à-dire son PÉRIMÈTRE : 2 × π × r.

Le patron d'un cylindre est donc constitué d'un rectangle (la surface latérale) et de 2 disques (les bases). Exemple : pour un cylindre de rayon r = 3 cm et de hauteur h = 5 cm, le rectangle du patron mesure 5 cm de haut et 2 × π × 3 = 6 × π ≈ 18,8 cm de large (avec π ≈ 3,14). Retiens l'image du déroulé : la longueur du rectangle = le tour du disque.

Le cours

Un cylindre de révolution est le solide engendré par un rectangle qui tourne autour d'un de ses côtés. Il est délimité par deux disques identiques et parallèles (les bases) et par une surface latérale courbe. Le rayon du cylindre est le rayon r des disques ; sa hauteur h est la distance entre les deux disques.

Pour construire un cylindre en carton, on trace son patron. Celui-ci comporte deux disques de rayon r (les bases) et un rectangle (la surface latérale dépliée). La particularité à retenir concerne ce rectangle : sa hauteur est la hauteur h du cylindre, mais sa longueur est le PÉRIMÈTRE du disque, car la surface latérale fait exactement le tour de la base.

Or le périmètre d'un disque de rayon r est 2 × π × r. Ainsi, la longueur du rectangle vaut 2 × π × r. Par exemple, pour r = 3 cm et h = 5 cm, le rectangle mesure 5 cm de hauteur et 2 × π × 3 = 6π ≈ 18,8 cm de longueur (π ≈ 3,14).

Comprendre ce déroulé prépare le calcul de l'aire latérale et du volume du cylindre.

Les erreurs fréquentes

On croit que la surface latérale dépliée est un carré ou un disque.

Dépliée, la surface latérale d'un cylindre est un RECTANGLE ; sa longueur vaut le périmètre du disque, 2 × π × r, et sa hauteur celle du cylindre.

On confond rayon et diamètre pour la longueur du rectangle, ou on utilise π × r².

La longueur du rectangle est le PÉRIMÈTRE du disque : 2 × π × r (avec r le rayon). π × r² serait l'aire du disque, pas le tour.

Tu maîtrises la notion si…

• Nommer les éléments d'un cylindre : deux disques (les bases) et une surface latérale.
• Identifier le patron d'un cylindre : un rectangle (surface latérale) et deux disques.
• Calculer la longueur du rectangle du patron : 2 × π × r (le périmètre du disque).

Vérifie que tu as compris

1. Quand on déplie la surface latérale d'un cylindre, on obtient :

   Réponse un rectangle

   La surface latérale dépliée est un rectangle ; sa longueur est le périmètre du disque (2 × π × r).

2. Pour un cylindre de rayon 3 cm, la longueur du rectangle du patron vaut (π ≈ 3,14) :

   Réponse ≈ 18,8 cm

   Longueur = périmètre du disque = 2 × π × r = 2 × 3,14 × 3 = 18,84 ≈ 18,8 cm.

3. Le patron d'un cylindre est formé :

   Réponse de deux disques et d'un rectangle

   Un cylindre est fermé par deux disques identiques, ses bases, et sa surface latérale se déplie en un rectangle : le patron comprend donc 2 disques et 1 rectangle.