Le volume d'un cylindre

En une phrase

Comme pour un prisme, le volume d'un cylindre est l'aire de sa base fois sa hauteur. Ici la base est un disque, dont l'aire vaut π × r². On obtient donc V = π × r² × h. On calcule d'abord r², puis π × r² (l'aire du disque), puis on multiplie par la hauteur h.

Comprendre

Un cylindre est un « solide à base constante » dont la base est un disque. Comme pour un prisme, son volume s'obtient en multipliant l'AIRE DE LA BASE par la HAUTEUR. Ici la base est un disque, dont l'aire vaut π × r².

Donc : V = aire du disque × hauteur = π × r² × h. Exemple : pour un cylindre de rayon r = 3 cm et de hauteur h = 5 cm, on calcule d'abord r² = 3 × 3 = 9, puis l'aire du disque π × 9, puis on multiplie par la hauteur : V = π × 9 × 5 = π × 45 = 3,14 × 45 = 141,3 cm³ (avec π ≈ 3,14). Le résultat est en cm³ et on l'écrit avec le symbole ≈ car π est arrondi.

Deux pièges : dans r², seul le RAYON est élevé au carré (pas 2 × r), et il ne faut pas oublier de multiplier par la hauteur.

Le cours

Le volume d'un cylindre de révolution se calcule comme celui d'un prisme : c'est l'aire de la base multipliée par la hauteur. Ici la base est un disque de rayon r, dont l'aire est π × r². Donc le volume du cylindre est V = π × r² × h, où h est la hauteur.

Étapes de calcul : (1) calculer r² (le rayon au carré) ; (2) multiplier par π pour obtenir l'aire du disque, π × r² ; (3) multiplier par la hauteur h ; (4) arrondir en utilisant π ≈ 3,14 et écrire le résultat avec ≈. Exemple : pour r = 3 cm et h = 5 cm, r² = 9, l'aire du disque est π × 9, et V = π × 9 × 5 = π × 45 = 3,14 × 45 = 141,3 cm³. Il faut prendre garde à ne pas confondre r² (le rayon au carré, 9) avec 2 × r (le double du rayon, 6) : écrire V = π × 6 × 5 serait une erreur classique.

Il ne faut pas non plus s'arrêter à l'aire du disque : le volume exige encore la multiplication par la hauteur.

Les erreurs fréquentes

On remplace r² par 2 × r (on écrit π × 6 × 5 au lieu de π × 9 × 5).

On élève le RAYON au carré : r² = 3² = 9, pas 2 × 3 = 6. L'aire du disque est π × r² = π × 9, puis V = π × 9 × 5 ≈ 141,3 cm³.

On s'arrête à l'aire du disque et on oublie de multiplier par la hauteur.

Le volume est l'aire du disque MULTIPLIÉE par la hauteur : V = π × r² × h = π × 9 × 5 = π × 45 ≈ 141,3 cm³.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la formule du volume d'un cylindre : V = π × r² × h (aire du disque × hauteur).
• Calculer le volume d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 5 cm : V ≈ 141,3 cm³ (π ≈ 3,14).
• Donner le résultat arrondi avec le symbole ≈ et l'unité cm³.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est la formule du volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h ?

   Réponse π × r² × h

   Volume = aire du disque × hauteur = π × r² × h.

2. Le volume d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 5 cm vaut (π ≈ 3,14) :

   Réponse ≈ 141,3 cm³

   V = π × r² × h = π × 3² × 5 = π × 45 = 3,14 × 45 = 141,3 cm³ (r² = 9, pas 2 × 3 = 6).

3. Pour calculer le volume d'un cylindre, on commence par calculer :

   Réponse l'aire du disque de base

   Le volume d'un cylindre vaut aire de la base × hauteur. On calcule donc d'abord l'aire du disque, π × r², avant de multiplier par la hauteur. Le périmètre 2 × π × r sert, lui, à trouver la longueur du rectangle du patron.